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维普资讯 第 23卷 第 4期 新《疆师范大学学报》(自然科学版) Vo1．23。No．4 2004年 12月 JournalofXinjiangNormalUniversity Dec．2004 (NaturalSciencesEdition) 关于数论在公开密钥加密体制中的应用 李轮溟 陈 莉 (新疆农业大学 数理学院，新疆 乌鲁木齐 830052)(新疆师范大学 数理信息学院，新疆 乌鲁木齐 830054) 摘 要 ：文章运用数论相关知识讨论了模运算(同余)、素数判定及因子分解在密码(加密与解密中)的应用，给出RSA公开 密钥系统的数学模型，并证RSA公开密钥加密体制在理论上的可行性，进而在此基础上探讨RSA公开密钥系统的安全性及其缺陷。 关键词：密码；素数；同余式；因子分解；RSA公开密钥系统 中图分类号： 0156．2 文献标识码 ：A 文章编号： 1008·9659一(2004)一04—0026—06 1 引言 密码作为军事、经济和政治斗争中的一种技术 ，已有数千年的历史。在计算机科学蓬勃发展的今天 ，密码 学也随之产生，数据安全作为一个新的分支已活跃在通信领域。诸如数论、信息论、复杂性理论、组合论、概率 论和线性代数等，也纷纷被运用到密码学中，并产生了诸多加密体制及加密方法。然而，数论作为一个相当古 老的数学分支，在密码学中起着相当重要的作用，著名的公开密钥加密体制便是其一个重要成果。同时也产 生了诸如二次筛法(Q )、数域筛法(NFS，也称分区筛法)、连分数法等较好的因子分解算法及阿德勒曼 — — 鲁梅利 (Adleman—Rumely)算法 (或称ARCL检验 ，由数学家Adleman，Rumely，科恩 (Cohen)和伦斯 特拉(Lenstra)的名字的首字母命名)和卢卡斯 一 莱默(E．Lucas—D．Lehmer)检验等较好的素数判定方 法。但是随着计算机技术及数论知识的发展，尤其是大素数的判定因子分解算法的提高，对公开密钥加密体 制的要求也越来越高。 本文首先简要介绍密码学中的若干术语及加密与解密的一般模式，然后再运用数论的相关知识讨论 RSA公开密钥系统在必威体育官网网址 中的运用及其编制密码的一般方法与特征，进而讨论其实际应用的安全性及 其缺陷。 2 若干术语及介绍 2．1 某方 要通过公共信道向另一方传送信息M。由于公共信道缺乏足够的安全保护，信息往往很容易被 第三者窃取，甚至被篡改。因此在信息进入公共信道之前需要把它变成秘密的形式，将要变成秘密形式被送 入公共信道的信息称为明文，明文的秘密形式就是密文，把明文变成密文的过程称为加密。当有人知道了密 钥而把密文变为明文的过程称为解密。密码中用来加密与解密的关键信息称之为密钥。显然，密钥在必威体育官网网址通 讯中占有极其重要的地位，通常主要由通讯双方秘密商定。 [收稿日期]2004—5—22 [作者简介]李轮溟(1980一)，男，汉族，助教，主要从事高等数学方面的教育与研究。 维普资讯 第 4期 李轮溟等 关于数论在公开密钥加密体制中的应用 27 2．2 加密与解密的一般模式为： 发送者A 接收者B · 表 l 典蛩 的磴码俸系 加密程序(它可以是一种特殊制造的装备，或是可在通用计算机上运行的程序)要利用使用者选定 的密钥以编制密文。在接收端，有一类似的体系运作。传统的体系在加密和解密时使用同样的密钥，解密程序 只是做加密程序所做的相反的工作，因而被称作对称密钥体系。例如古罗马皇帝凯撒在公元前 7O年就使用 的凯撒密码(置换密码)，即其加密算法由同余式C三P+K(mod26)(户为明文，C为密文，k为位移量)给出，