当数学体系遇上悖论.pdfVIP

4 1 中 天 有人对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系!”听到这样的 话，你也许会震惊：谁会有这么狂妄的口气?其实，说这句话的不是别 糠 人，正是数学发展史上的 “捣蛋鬼”——悖论 !悖论的产生，使人们对数 学的可靠性产生了怀疑，导致了数学发展史上三次严重的危机。 _ l 在人们眼里，数学是一门严格、 和谐 、精确的学科，但是纵观数学 史 ，它的发展却不完全是直线前进 式的。由于数学悖论的出现，数学体 系曾显露出不严谨的一面，数学的 理论也遭到过各种怀疑。 那么悖论到底是怎样的一个角 色呢?简单地说，悖论是这样一种命 | 题 ：由它的真，可以推出它为假；由它 的假 ，可以推出它为真。悖论貌似合 浙江省数 学 理，却 自相矛盾。我们知道，严格性是 特级教师，浙江省 数学的主要特点之一 ，因此数学中 数学会理事 出现悖论 ，会使人们对数学的可靠 性产生怀疑，导致对数学认识 的危 机感 。按照西方的说法 ，迄今为止 ， 由悖论导致的 “数学危机”，在数学 发展史上 出现过三次。 中天 {5 公元前6世纪，在古希腊学术界 占统治地位的是毕达哥拉斯学派，他们 倡导的是一种被称为 “唯数论”的哲学观点 ，认为万物 皆数 ，而数只有两种 ， 就是正整数和可通约的数 (即分数)。然而，毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯 发现这个论断存在 问题。希帕索斯提出了这样一个 问题 ：边长为 l的正方 形，其对角线长度是多少?他发现这一长度既不能用整数表示 ，也不能用分 数表示 ，这在当时的数学界掀起了一场 巨大的风波 ，直接动摇 了人们对毕 达哥拉斯学派的信仰。实际上，这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命 打击，对当时所有古希腊人的观念更是-u．个极大的冲击。面对这一 “荒谬” 的问题 ，人们竟然毫无办法 ，当时的数学界思想极度混乱 ，史称 “第一次数 学危机 ”．． 第一次数学危机的影响足 大的，已推动了数学及其相关学科的发展。 首先，人们开始认识到。除了整数和分数外 ，还有其他的数存在。在许多数学 家的研究及努力下 ，无理数诞生了，并且被给予了严格的定义。同时，数学家 们提出r一个包含有理数和无理数的新数类——实数，建立了完整的实数 理论 ，为数学分析的发展奠定了基础。 第一次数学危机还表明，在数学研究巾，直觉和经验不一定靠得住，推 理证明才是可靠的。从此 ，希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公 理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾、解除危机而形成的。第一次数学 危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年里成为几乎所有严