高等数学中反例的研究.pdfVIP

维普资讯 26 高等数学研究 Vo1．11，NO。5 STUDIESIN COLLEGEM ATHEMATICS Sep．，2008 高等数学中反例的研究 杜春 雨 (河南大学数学与信息科学学院 河南开封 475004) 摘 要 本文给 出了洛必达法则的反例 ，并从 中总结了本文 中反例 的构造 关键词 洛必达法则 ；反例 ；极限 中图分类号 O172 l I司题 的提 ￡ij 讨论洛必达法则的反例 ，并不是说洛必达法则是错误的，若当你非常仔细的考察法则 的条件和 结论时，你就会发现 ，当条件中F ()≠0不满足时，结论可能不成立，这里提出来 ，以便引起大家 的关注． 洛必达法则Ⅲ ：设 (1)limf(x)= oO，limF()一 oo； z—’4 —+ d (2)在点 口的某邻域内(点 日本身可以除外)，f(z)及 F (z)都存在 ，且 F ()≠0； (3) =L(或无穷大)， 那么 = ． 法则中条件(3) ：L存在 ，若 不存在 ，我们不能得出关于 的任何 结论．严格地说，若F(z)在点a的某个邻域内(点n本身可以除外)有零点，则等在该邻域内没 有意义，即是说极限lim 不存在，然而有隐含 ／()和F(z)包含共同因子的可能性，如 口 1 、^ ， ／()= “()()，F(z)： ()(z)，这里lim (z)无极限，消去 “()是很 自然的，这正是我们 在目前情况下要做的，很可能一4簧O＼碧山存在，而r+口J、山，不存在． 2．反例 设 ()=土X，’()=C÷十 “(f≠0，±1)，取 厂()= (z)一sin()，F()=厂()[cos()] 即 ()： 一sin ，F )： ( 一sin )／(c+cos ) ，()：一 1十 1COS1一 (c。s 一 ¨ (cos一1 1)(+ co )一 ( 一 sin ) 1sin1 — F ()= 互—— ___————— —-互—— —互 (c+ COS一1)2 * 收稿 日期：2007—05—14 维普资讯 第 11卷第 5期 杜春雨：高等数学 中反例的研究 27 1 1 CoS ～ 一 l Z 因此