常曲率空间中具正Ricci曲率的子流形.pdfVIP

数 学 年 刊 2011，32A(6)：679-686 常 曲率 空 间 中具正 Ricci曲率 的子流形冰 何 太 平 罗 宏 提要 设 s+p(1)是一单位球面，M 是浸入 S”+ (1)的具有非零平行平均曲率向量的竹维紧致 子流形．证明了当n≥4，P≥2时，如果M 的Ricci曲率不小于 (礼一2)(1+H )，则M 是全 脐的或者M 的Ricci曲率等于 (n一2)(1+H )，进而 M 的几何分类被完全给出． 关键词 Ricci曲率，伪脐，直积 MR (2000)主题分类 53c42 中图法分类 O180．12 文献标志码 A 文章编号 i000—8314(2011)06—0679—08 1 引 言 设S叶p(1)是一单位球面，M 是浸入 S卅p(1)的具有平行平均曲率向量的n维紧 致子流形．研究 M 的刚性定理一直是一个有吸引力的问题．文 [1—4]等给出了数量曲 率和截面曲率的严格条件，并进行了几何分类．对Ricci曲率的情形，当Mn是 S+p(1) 的极小子流形时，文 5『1给出了以下引理． 引理 1．1[5J如果 n≥4，M 是浸入 S+ (1)的紧致单连通的n维极小子流形，且 浸入是满的，其Ricci曲率不小于n一2，则M”是S(1)或者是sm(√丢)×sm(、／)C sn+l(1)(礼=2m)，或者是S(1)中的P，其中S (、／)是半径为 的球面， 是一 个全纯曲率为 的二维复射影空间． 当竹=2m时，上述条件是严格的． 众所周知，具有平行平均曲率向量的子流形是极小子流形的一个 自然推广．对于这 样的子流形，是否存在类似于引理 1．1的定理是一个非常有趣的问题．许多作者沿用文 [5]的主要方法对此进行了研究．较好的结果是孙志琪得到的6【】j他证明了，如果 的 Ricci曲率不小于 (札一2)一l(7n+S)H + [8(礼。+144n)H +36nli】{或 (1+H )， 则 M 是全脐的，其中n≥4，H是M 的中曲率．但是，当 全脐时，Mn的Ricci 曲率为 (佗一1)(日 +1)，故文 [6】的条件不是严格的．因此，探讨 M 的Ricci曲率达到 下界的条件是有意义的． 本文采用不同于文 [5]的方法，对文 [2]中的一个关于M 的第二基本形式长度平方 的Laplace式，比较精细地从该式和M 的Ricci曲率式中分离出形如九一H ( 为M 的中曲率向量的主曲率)的因式．以此为基础，我们证明了S卅p(1)中具有平行平均曲率 向量的子流形M”的Ricci曲率取得下界的条件 (见定理2．1)，它是引理 1．1的自然推广． 至此，关于 Mn的数量曲率、截面曲率和Ricci曲率的刚性定理的严格条件被完全 给出． 本文2011年 1月 19日收到，2011年 6月 22日收到修改稿． 四川师范大学数学与软件科学学院，成都 610066．E-mail：hetaiping86~hotmail．corn；lhscnu~163．com 国家自然科学基金 (No资助的项目． 数 学 年 刊 32卷 A辑 2 主 要 定理 定理 2．1 设 n+p(1)是一个 +P维的单位球面， 扎≥4，M 是浸入 S叶 (1)的 具有非零平行平均曲率向量的 礼维紧致连通子流形，且浸入是满的．设 M 的Ricci曲 率不小于 (n一2)(1+H )，其中日为M 的中曲率，则 (1)当P=1时，M 是全脐的，即 ”为一个 礼维球面； (2)当P≥2时，M 是全脐的或者 的Ricci曲率等于 (n一2)(1+H0)，此时M 为 × CSn+(1+H。)， =2m，或为S (1+H )中的尸 +。、，其中 是一个 — 具有截面曲率为 2(1+H。)的m维流形，P + 是全纯截 曲率为