有关复banach 空间的几何学.pdfVIP

第 27 卷 第 1 期 数 　学 　进 　展 Vo1. 27 ,No. 1 1998 年 2 月 ADVANCES IN MA THEMA TICS Feb. ,1998 关于复 Banach 空间的几何学 刘培德　侯友良 (武汉大学数学系 , 武汉 , 湖北 , 430072) 　　摘 　要 　本文介绍复 Banach 空间几何学近年来的发展状况及其与向量值调和 分析、B 值鞅理论的联系. 文章包括以下内容 : 1. 几个反例 ; 2. 复凸性与复凸模 ; 3. 解析 Radon - Nikodym 性质的分析特征 ; 4. 解析 Radon - Nikodym 性质的几何特 征 ; 5. 几种 RN 性质的比较 ; 6. PL 一致凸性的鞅刻画 ; 7. H 一致凸性的鞅刻画 ; 8. 向量值 Hardy 与 Paley 不等式 ; 9. 解析 UMD 空间. 关键词 复Banach 空间几何学 ; 解析 Radon - Nikodym 性质 ; PL 一致凸 , H 一致 凸;解析 UMD 性 ;鞅 ; 向量值 Hardy 与 Paley 不等式 MR( 1991) 主题分类 46B20 ( ) 若干年前 , 在有关 Banach 空间几何学的论文或专著中 , 开头总是写着“本文 本书 所讨 论的 Banach 空间都假定为实空间”等诸如此类的话. 近年来同样类型的文章或书籍也常写着 同样的话 , 只不过将“实空间”改成了“复空间”. 这说明复空间的几何性质已成为人们关注的 一个中心. 实际上 ,调和分析、算子理论、Banach 代数和 C 代数 、微分方程、量子力学和流体 力学等理论和应用学科所涉及的 ,多是复变量的函数或者从复空间到复空间的算子 , 因此对 复空间几何学的研究是十分必要的. 复空间几何性质的研究最先来自关于向量值解析函数有 关性质的研究 , 当人们发现这些性质对于实空间和复空间确有不同时 , 兴趣迅速增大. 事实 上 , Thorp , Whitley 最早研究了 Banach 空间的复端点结构 , Globevnik 研究了复严格凸性和 ( ) 复一致性 所谓严格 c 凸和一致 c 凸 ,并且指出复空间 L 1[ 0 , 1] 是复一致凸和复严格凸的. Bukhvalov 与 Danilevich 研究了单位圆中定义的 Banach 空间值解析函数的边界性质 , 由此定 ( ) 义了解析 RadonNikodym 性质 ARNP . 此后 ,Dowling , Blasco 用有界算子和有界变差测度 的可表现性 , Edgar , Garling 等用解析鞅、Hardy 鞅的 a. e. 收敛性 , Ghoussob , Lindenstrauss , Maurey 等用重次调和凹点与障碍点的存在性 , Kalton 应用解析型函数的 a. e. 可微性分别刻 画了 ARNP. Bu 研究了子集的 ARNP. 与此同时 Davis , Garling , TomczakJaegermann 研究了 复拟Banach 空间的复凸性质 , 给出了 PL 一致凸性的鞅刻画. Xu 定义了 H 一致凸性并建立 了与之等价的 Hardy 鞅的不等式. 作者与 Bekjan , Wei 等对解析鞅 ,Hardy 鞅以及复对称鞅的 不等