福建省长泰一中高考数学一轮复习《空间的角》学案.docVIP

福建省长泰一中高考数学一轮复习《空间的角》学案 例2. 在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为2，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求： ⑴ AC1的长； ⑵ AC1与MN所成的角； ⑶ AC1与平面ADMN所成的角． 答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin 变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面ABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求： ⑴ 二面角S－CB－A的大小； ⑵ 直线SC与AB所成角的大小． 答案：(1) arctan (2) arccos 例3. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求： ⑴ AD与平面DBC所成的角； ⑵ 二面角A－BD－C的正切值． 解：(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E，由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45° (2) 作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2 变式训练3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点． ⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1； ⑵ 求证：AB1∥平面BEC1； ⑶ 若，求二面角E－BC1－C的大小． 答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45° 例4: 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1) 当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°； (2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角. 解(1) 取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M，由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA. ∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角，设C1M＝x，B1N1＝a. sin B1MN1＝, 解得x＝a，则C1M＝C1C, ∴M为C1C的中点. (2) arccos 变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、 CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A—DE—C的大小为，若△ACD 为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G 是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值． 解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上，过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC、GD． ∵△ACD为正三角形，∴AC＝AD，∴GC＝GD，∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线，∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG＝，设原正方形ABCD的边长为2a，由直角三角形的射影定理，可得AH＝，GH＝， ∴． 1．两异面直线所成角的作法： ① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线； ② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角． 2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影． 3．平面角的作法：① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法． 4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S＝Scosθ来求． 5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成． 2 基础过关 典型例题 C D A B B1 M N C1 A B O C D S A B D C B B1 A E C C1 A1 A C M A1 B1 C1 B B E A D F C A E F B C D 小结归纳