福建省长泰一中高考数学一轮复习《空间距离》学案.docVIP

福建省长泰一中高考数学一轮复习《空间距离》学案 例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA⊥平面AC，PA＝a．求： ⑴ P到直线BC的距离； ⑵ P到直线CD的距离． 答案：(1) (2) 2a 变式训练1： 已知平面外不共线的三点A、B、C到α的距离相 等．求证：存在△ABC的一条中位线平行α或在α内． 提示：分A、B、C在的同侧与异侧讨论 如图， 直线l上有两定点A、B， 线段AC⊥l，BD⊥l，AC＝BD＝a，且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离． 解：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE＝AC，则ABEC为矩形． ∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE． 则AB与CD的距离即为B到DE的距离． 过B作BF⊥DE于F，易求得BF＝，∴AB与CD的距离为． h＝≤＝≤a(当x＝时两不等式同取等号) 例3. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．解：连结AC、BD、AC∩BD＝0， ∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD， ∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，AC∩EF＝K，连结KG，∵EF⊥KC，∴EF⊥平面KGC，过O作OH⊥KG于H，则OH⊥平面EFG，∴OH即为O到平面EFG的距离，KC＝AC＝3，KG＝，OK＝AC＝，由Rt△OHK∽Rt△CKG得OH＝． 变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点. ⑴ 求证：AD⊥D1F； ⑵ 求证：AE与D1F所成的角； ⑶ 求点F到平面A1D1E的距离． 答案：(1) 略 (2) 90° (3)将F移至AB中点研究． 例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度. 解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置，B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面，CFED是矩形，且CD＝×100＝(千米)，AB＝×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在Rt△CFA中，AF＝x；在Rt△DEB中，BE＝x. 作EG⊥AB于G，EH⊥AF于H，则EG＝AH＝x，EH＝AG＝1＋，FH＝x. 在Rt△FHE中，EF2＝FH2＋EH2，即()2＝(x) 2＋(1＋)2，∴ x＝1. 故飞机飞行的高度为1千米． 变式训练4：如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． （1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的取值范围； （2）当二面角A—BC—D的平面角为时，求点C到平面ABD的距离． 解(1)(提示：D到平面ABC的距离d∈[3，] ) (2)取BC中点E，连结EA、ED，则∠AED＝ ∴AD＝AE＝ ∵ 又，设C到平面ABD的距离为h． 则 1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离． 2、求点到平面的距离的方法： ⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质． ⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求. (3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距. 3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点. 3 基础过关 典型例题 A C B D l A E B C G D F Ａ B C D Ａ1 C1 D1 B1 E F F C D E G B A 北 南 30° 30° 30° A B D C 小结归纳