北京四中高中数学 指数函数及其性质提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

指数函数及性质 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： y=ax 0a1时图象 a1时图象 图象 性质 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x0时，ax1 x0时，0ax1 ⑤x0时，0ax1 x0时，ax1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。 （2）当时，；当时。 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ② ③ ④ 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大） x∈(－∞,0)时， （2）特殊函数 的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可． 【典型例题】 类型一、函数的定义域、值域 例1．求下列函数的定义域、值域. (1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数) 【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3） ；（4）(-∞，-1)[1，+) [1，a)(a，+) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1). ∵ ，x0， 1+x1， ， ， ， ， 2x0， 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[). (3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是. (4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)[1，+)， ，∴ ， ∴值域为[1，a)(a，+). 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(4)小题中不能遗漏. 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1时，；0a1时， 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即 (4) 为使得原函数有意义，需满足，即，所以a1时，；0a1时，. 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系. 类型二、指数函数的单调性及其应用 例2．讨论函数的单调性，并求其值域． 【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】 解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2， ∴，， ． （1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知． 又对于x∈R，恒成立，∴． ∴函数在（－∞，1）上单调递增． （2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2