ARMA模型的特性.docVIP

ARMA模型的特性 本章为本书重点之一，主要掌握三类模型的格林函数形式、平稳性和可逆性条件、AFC和PAFC的形式和特点。 第一节 线性差分方程 后移(Backshift)算子: 定义：后移算子B定义为，从而。 后移算子的性质： 常数的后移算子为常数： 分配律： 结合律： 后移算子B的逆为前移算子 对于，无限求和得 前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为： 其中： 线性差分方程 可将写成 这里 差分方程通解为： 这里，C (t)是齐次方程解，I (t)是特解。 齐次方程解的计算 无重根 考虑齐次差分方程 其中 假定G1，G2，…，Gn是互不相同，则在时刻t的通解： 其中Ai为常数（可由初始条件确定）。 重根 设有d个相等的根，可验证通解为 对一般情形，当的因式分解为 齐次方程解便是 因此，齐次方程解是由衰减指数项Gt、多项式tj、衰减正弦项Dtsin(2πf0t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。 上述过程中计算并不方便，通常通过解方程得到其根为：。由于的根与的根互为倒数，因此。 非齐次方程的特解通常情况下不容易得到，没有一个“万能钥匙”，需要具体问题具体分析，只能对一些具有特殊形式非齐次项的方程进行讨论。此处丛略。 第二节 格林函数(Green’s function)和平稳性(Stationarity) 格林函数(Green’s function) 定义：设零均值平稳序列能够表示为 （1） 则称上式为平稳序列的传递形式，式中的加权系数称为格林（Green）函数，其中。 格林函数的含义： 格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。 式（1）可以记为 （2） 其中。 式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项对现实响应的权，亦即系统对的“记忆”。 AR（1）系统的格林函数 由AR（1）模型 即： 则AR(1)模型的格林函数。如若，则随着j的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；相反，若，则随着j的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱. 例：下面是参数分别为0.9、0.1的记忆情况（三个序列由同一正态白噪声序列模拟生成）： 比较前后三个不同参数的图，可以看出： 取正值时，响应波动较平坦。 取负值时，响应波动较大。 越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。 由于其中，因此AR（1）模型可用一个无限阶MA来逼近，这说明AR模型是一种长效记忆模型。 三、AR系统的平稳性 1、由平稳性的定义求AR(1)系统的平稳性条件 将AR（1）模型两边平方再取数学期望，得到 如果序列是平稳的，则有，由上式可得 由于是非负的，所以，从而，这就是AR（1）模型的平稳性条件。 利用滞后算子B，AR（1）模型可以写为 式中，那么平稳性条件就等价于的根在单位圆外（或的根落在单位圆内）。 上述平稳条件可以推广到AR（n）模型，即 其中：的平稳性条件为：的根在单位圆外（或的根在单位圆内）。 2、由格林函数求AR(1)模型的平稳性条件 对于AR(1)系统来说，其平稳性条件也可以由格林函数得出。如果系统受扰后，该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位置，那么，该系统就是平稳的。相对于格林函数来说，就是随着j→∞，扰动的权数，由于＝故必有j→∞，，显然， 这就是AR(1)系统平稳性条件。反过来，若，则称AR(1)为渐近稳定的，也必是平稳的。 时，=1; 当=1时,=(-1)j 当=-1时 这时，虽然响应不回到其均衡位置，但仍是有界的，这时系统为临界稳定的，系统可能存在某种趋势或季节性。 当时，j→∞，→∞，任意小的扰动只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋于无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。 例：求AR（2）模型的平稳域 解：特征方程 的根 ， ， 根据AR模型的平稳性的条件 由于是实数，必同为实数或共轭复数，由于，因此 故AR（2）模型的平稳域为 四、格林函数与Wold分解(Wold’s Decomposition) 所谓Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过程分解成不相关的随机变量的和。由于这一思想是由