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基于不同方法解决非线性问题的分析 赵莉 辽宁工程技术大学理学院 ，阜新（123000） Email：zero9060@163.com 关键词: 二分法,迭代法,牛顿下山法,优缺点. 1.引言: 代数方程求根问题是古老的数学问题,是在16世纪就找到了三次,四次方程的求根公式.但直到19世纪才证明n=5次的一般代数方程式不能用代数公式求解.因此,需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解. 在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题,例如在控制系统的设计领域,人口增长的研究等. 在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点 如果f(x)可以分解,其中m为正整数且 .当m1时称是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根;当m=1时称为单根. 2.分析比较 2．1二分法在非线性方程求解中的应用 2．1．1问题的提出 在无阻尼强迫震荡的研究中会碰到函数h(x)=xsin(x).寻找在区间[0,2]内的值x,满足h(x)=1(函数sin(x)用弧度计算)。[1] 2．1．2二分法的思路 求方程根的一种最直观，最简单的数值方法是二分法（Dichotomy）.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且[a,b]为有根区间，不妨设f(a)0，f(b)0.首先将区间[a,b]二分，即取中点，若,则就是方程式f(x)=0的根.否则，若,方程的有根区间变为[(a+b)/2,b];若，方程的有根区间变为[a,(a+b)/2],将新的有根区间记为[],长度为[a,b]的一半.重复上述过程，即取=()/2,将[]再二分，又可得到新的有根区间,长度为[]的一半. 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，因此，[]的长度为 2.1.3 问题的求解过程 利用二分法寻找函数f(x)=xsin(x)-1的零点。初始值=0,=2.计算： f(0)=-1.000000和f(2)=0.818595, 因此f(x)=0的一个根位于[0,2]内.在中点=1,可发现f(1)=--0.158529.因此区间改变为[]=[1,2]. 接下来，从左边压缩使得且.中点=1.5且f()=0.496242.现在f(1)=-0.158529且f(1.5)=0.496242,这表示根位于区间[]=[1.0,1.5].下面从右边压缩使得且.按这样的方法，可得到序列{},它收敛到r≈1.114157141.表一给出一个计算样本. 表一 用二分法求解xsin(x)-1=0 k 左端点,k 中点， 右端点， 函数值f() 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 0 1.0 1.00 1.000 1.0000 1.00000 1.000000 1.0000000 1… 1. 1.5 1.25 1.125 1.0625 1.09375 1.109375 1.1171875 1… 2. 2.0 1.50 1.250 1.1250 1.12500 1.125000 1.1250000 1… -0.158529 0.496242 0.186231 0.015051 -0.071827 -0.028362 -0.006643 0.004208 -0.001216 … 2.1.4应用二分法解决非线性问题的优缺点 二分法的优点是算法简便，且总是收敛的，缺点是收敛太慢，故一般不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值. 2.2 迭代法在非线性问题求解中的应用 2.2.1 问题的提出 用迭代法求方程f(x)=x^3-x-1=0在附近的实根。 2.2.2迭代法思路 迭代法是一种逐次逼近法，首先给定一个粗糙的初值，然后用同一个迭代公式，反复校正这个初值，直到满足预先给出的精度要求为止. 是求解代数方程、超越方程及方程组的一种基本方法。[2] 将方程f(x)=0改写成等价的形式x= 如要求满足，则=；反之亦然，称为函数的一个不动点，求f（x）的零点就等价于求的不动点，选择一个初始近似值，将它代入x= 的 右端，即可求得 可以如此反复迭代计算 （k=0,1,2…）. 称为迭代函数 2.2.3 问题的求解过程 将方程f(x)=x^3-x-1改写成下列形式x=, 据此建立迭代公式 （k=0,1,2,…） 与 完全相同，这