Strongart数学笔记：一本布尔巴基式的中文数学书.pdfVIP

一本布尔巴基式的中文数学书 这里我要推荐一本中国人的数学书，是胡适耕和张显文编著的 《抽象空间引论》。这本书顾名思义，主要是讲解抽象空间理论的， 大体上相当于点集拓扑与泛函分析的内容。此书的特点是思路清晰简 明扼要，用结构主义的思想对各类抽象空间做了精妙的阐释，可以说 Strongart 是有点布尔巴基学派的风范了。其实， 的泛函分析讲座之所 以能够如此精彩，在一定程度上也是受益于此书，下面就对书的几大 特色做一番点评： 1.叙述带有启发性，常常有一些揭示数学思想的注记。比如 P51-52 内说明的分析中定理最大限度做推广，常常可以得到某种空 间，比如有限覆盖定理就可以推广为紧空间，这就给出了从分析到拓 扑的一座桥梁，可以说是一种哲学层面的启迪了。在P130 介绍桶空 “ Frechet 间时，说 凡需要使用纲论证的问题，可以考虑以桶空间代替 ” P157 “ 空间 ，再看 上说 在弱收敛的意义上，使用自反空间就如同使 ”, 用有限维空间一样 这些都称得上是微言大义式的话语啊！ 2.阐述时层次分明，结论力求一般化。不同理论适合在不同空间 上构架，本书也在追求一种一般化的效果，尽可能在较宽泛的空间上 处理问题，能在拓扑空间中处理的问题，就不用引入度量结构了；能 够在拓扑线性空间中处理的问题，就用不着在赋范空间上处理了。这 样不仅能够得到更强的结论，而且更加能够体现出理论的价值所在。 “ ” 在泛函分析中，我们有个结论说 有限维空间都是可补的 ，但在此书 P118 页是在局部凸空间上证明的，理由是它的证明用到双正交基， 后者其实就是Hahn-Banach 定理的应用，而局部凸空间恰恰就是配合 此定理导入的，因此是它成立的最理想舞台，后面还说明了它在一般 拓扑线性空间上不成立，这样一来我们的认识就更加本质化了。 3.内容完整自成体系。书中不仅有大量篇幅讨论拓扑线性空间， 还难得在度量空间与拓扑空间之间给出了一致空间，这是一般泛函分 析书中难以见到的。原本在泛函分析中就有像Cauchy 列、完全有界 性等概念，看似有点像拓扑，但又不能归结为标准的拓扑，实际上它 们主要是一致结构的产物。在P76-78 说紧空间等价于任何网有收敛 子网，一致空间的完备性就是任何Cauchy 网有收敛子网，而完全有 界性则等价于任何网都有Cauchy 子网，这样一来紧致性就等价于完 “ ” 备性加完全有界性，这个 介于泛函与拓扑之间 的命题终于在一致结 构的基础上得到了阐明。但为什么泛函分析中很少出现一致结构呢？ P94 中给出了具体解释：那就是在拓扑线性空间中的一致结构由向量 拓扑完全决定，也就是说有了导出线性空间后，一致性概念就被拓扑 给吸收了。 4.证明简明扼要，力求最小化。一般来说，当我们需要结论一般 化，条件给的不是很强的时候，证明可能会比较复杂，此书在这方面 却是用了心的。像点集拓扑学中正规空间的Urysohn 引理、紧空间的 Tychonoff 定理都是比较麻烦的，但书却是把它们拆成若干小引理， 最后直接就瓜熟蒂落了。即便像更为复杂的度量空间的仿紧性、拓扑 空间的可度量化定理，其证明也比其他的同类书籍简明。 要说有点遗憾的是，此书的知识密度比较高，不太适合初学者用 来入门，但经常翻阅一下确实很有启发的。从序言中可以看出，作者 的初衷主要就是为了使用者的方便，把典型例子都放到后面的某一节 里集中处理，这也是难以两全的事情啊！以前我曾经批评过某教授写 的假洋鬼子字典书，说它只能当字典查但不可读，但这并不是说所有 不可读的书都是垃圾，这本书就是一个典型的反例，可以说一本布尔 巴基式的经典参考书。 最后我要感慨的是，本书的作者胡适耕教授主要是研究应用数学 的，貌似这样的非主流数学工作者写的书都很有特色，以前有个苏竞 存写了本《流形的拓扑学》就很有个