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等差数列的概念和性质 【知识要点】 1、等差数列的概念： 若数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。即an+1－an=d(d为公差) 2、等差数列通项公式：若数列是等差数列，则。 推广：。 变式：，，，由此联想点列所在直线的斜率。 课堂练习： (1) 等差数列中，，，则通项　　　　（答：）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：） 3、等差数列前n项和公式：若数列是等差数列，则 （1）若已知，，则。 （2）若已知、，则 （3）若已知、，则 变式：（1） (2) (3) S2n－1=（2n－1）an （4）前n项和与通项的关系：若等差数列的前项的和为，等差数列的前项 的和为，则 注：⑴ 前项和公式的推导使用的是倒序相加的方法． ⑵ 在数列中，通项公式，前项和公式均是关于项数的函数，若等差数列，其通项公式是关于的一次函数，其前项和公式是关于的二次函数（不含常数项）． 课堂练习： （1）（2003年春季上海）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法， 可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___________________. 解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1－x）=，即f（－5）+ f（6）=， f（－4）+f（5）=，f（－3）+f（4）=，f（－2）+f（3）=，f（－1）+ f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.答案：3 （2）等差数列中，，求它的前项和=_______________ 解：d=-1, （3）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）； （4）设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；若，那么___________ （答：； 设） 4、在等差数列，，，，这五个基本量等差中，，，前n项和，则＝＿，＝＿ （答：，） （2）等差数列中，，则＝____（答：27）； 5、等差中项：若成等差数列，则称为与的等差中项，且； 成等差数列的充要条件是。 课堂练习：（1）在中，三内角A,B,C成等差数列是的_____充要____条件。 （2）在中，三内角成等差数列是的_必要非充分_____条件。 6、判断数列是等差数列的方法： ①定义法：（是与无关的数或式子） ②通项公式法：（为常数） ③等差中项法： ④前n项和法：(其中为常数) 课堂练习： （1）数列中，，求 解： （2）设数列的前项和为，若对于所有的正整数，都有，证明是等差数列 解 将上面两式相减得 7、等差数列的性质： （1），； （2）若数列是公差为的等差数列，则数列（为常数）是公差为 的等差数列； 若是公差为的等差数列，则（为常数）也是等差数列且公差为； （3）下标成等差数列且公差为的项，…组成的数列仍为等差数列，公差为； （4）若，且，则，反之不成立；（当时，反之成立。） 课堂练习： ①等差数列{an}中， ，求值。（- 4） ②等差数列{an}的公差为正数，且a3a7=－12,a4+a6=－4，则前20项之和为__________（180） （5）设，，，则成等差数列，且公差为； 即成等差数列（公差） 。 课堂练习：等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________ 解法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知，要求S3m只需求m［a1+］, 将②－①得ma1+ d=70,∴S3m=210 解法三 由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数） 将Sm=30,S2m=100代入，得 ,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 解法四 S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)=S2m+(a1+…+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210 解法五 根据等差数列性质知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列，从而有 2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m) ∴S3m=3(S2m－Sm)=210 解法六 ∵Sn=na1+d,∴=a1+d∴点(n, )是直线y=+a1上的一串点， 由三点(m,),(2m, ),(3m, )共线，易得S3m=3(S2m－Sm)=210 解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a