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复变函数与积分变换辅导资料八 主 题：第三章 复变函数的积分4—6节 学习时间：2012年11月19日－11月25日 内 容： 在复变函数中，积分法与微分法一样是研究复合函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。 本周在得到复合闭路定理的基础上建立柯西积分公式，并讲述调和函数与解析函数的关系。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、了解原函数与不定积分的关系 2、掌握柯西积分公式 3、深刻理解调和函数与解析函数的关系 基本概念：知识点：的导数等于，即，则称是在区域D内的一个原函数。 同高等数学一样，我们定义：的原函数的一般表达式(其中C为任意复常数)为的不定积分，记作。 定理1：设D为单连通区域，，若在G内解析，为在D内的一个原函数，则，称上式为牛顿-莱布尼茨公式。 典型例题： 例、计算积分 解： 此外，还可得到复变函数的分部积分公式 定理2：设在单连通区域D内解析，为区域D内两点，则有 第五节、柯西积分公式 （要求达到“简单应用”层次） 定理：设在区域G内解析，C为G内的任意一条正向简单闭曲线，C的内部完全含于D，为C内的任意一点（如下图），则，称上式称为积分基本公式或柯西积分公式。 典型例题： 例1、积分 例2、积分 推论1（平均值公式）：设在内解析，在上连续，则 这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。 推论2：设在由简单闭曲线所围成的闭区域上解析，为D内的一点，则。 第六节、解析函数与调和函数的关系 （要求达到“领会”层次） 定义1：如果二元实函数在区域D内具有二阶连续的偏导数，并且满足拉普拉斯方程，则称为区域D内的调和函数。 典型例题： 例、 由于 所以是调和函数 定理1：设函数在区域D内解析，则它的实部和虚部都是D内的调和函数。 定义2：若函数是区域D内的解析函数，则称为的共轭调和函数。 典型例题： 例、验证是z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使 解法1（线积分法）： 有，故在z平面上为调和函数 由柯西-黎曼方程，有 故 故 要合必C=1，故 解法2（偏积分法）： 由，得 再由得， 故 从而 因此 要合必C=1，故 解法3（不定积分法）： 因为解析 所以 于是 要合必，故 第2页 共4页