《复变函数与积分变换》辅导资料十.docVIP

复变函数与积分变换辅导资料十 主 题：第四章 解析函数的级数3—4节 学习时间：2012年12月3日－12月9日 内 容： 本周重点讨论解析函数的级数表示—泰勒级数及洛朗级数，然后研究如何把解析函数展开为泰勒级数及洛朗级数。这一问题无论在理论上还是在实际上都具有重要的意义，它可以帮助我们更深入地掌握解析函数的性质。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、理解泰勒定理（证明不作要求） 2、掌握用泰勒展开式将一些简单的解析函数展开为幂级数 3、理解洛朗级数（证明不作要求） 4、掌握用间接方法将简单的函数在圆环域内展开为洛朗级数 基本概念：知识点：在圆域内解析，则在D内可以唯一地展开成幂级数 其中 典型例题： 例1、求函数在处的泰勒展开式、 解：因为 所以其展开式中的系数可由公式直接计算得到 于是 例2、求函数在处的泰勒展开式 解： 例3、求函数在处的泰勒展开式 解： 例4、求函数在处的泰勒展开式 解： 第四节、洛朗级数 （要求达到“简单应用”层次） 定义：形如的级数称为洛朗级数，其中是复常数，称为级数的系数。 定理：设函数在圆环域内解析，则在D内可以唯一地展开为洛朗级数 其中这里C为D内围绕点的任意一条正向简单闭曲线。 典型例题： 例1、求函数分别在圆环及内的洛朗级数展式 解：因为 1、由，有 所以 2、由，有 所以 例2、将分别在圆环域及内展为洛朗级数 解：用待定系数法分解为部分分式： 1、在内展为洛朗级数 2、在内展为洛朗级数 注：当为有理分式函数时，应先分解为部分分式，然后展为洛朗级数。 第1页 共3页