学校高一(下)周末数学不等式证明资料(八)(学生卷).docVIP

专题八：均值不等式和不等式的证明选讲 一、基础梳理 1．常用的基本不等式和重要的不等式： （1） 当且仅当取“”号； （2）； （3），则。 2．均值不等式： 两个正数的均值不等式：； 三个正数的均值不等式：； 个正数的均值不等式：。 3．四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是： 。 小结：“算数平均数几何平均数”的多种表达形式： 整式形式 根式形式 分式形式 倒数形式 4.均值不等式求最值： （1）如果（定值），由______________，当时，有____________； （2）如果（定值），由______________，当时，有____________； 注：上述方法对三个正数也成立。 利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！ 5．不等式的证明方法： （1）比较法：作差比较：；作商比较：。 作差（商）比较的步骤： ①作差（商）：对要比较大小的两个数（或式）作差（商）； ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和（对商式进行因式分解或约分等）； ③判断差的符号（商与1的大小）：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（商与1的大小）。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。 ②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。 （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：；； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式， 如：；； ④利用常用结论： Ⅰ）； Ⅱ） ； （程度大） Ⅲ） 。（程度小） Ⅳ） （程度更小） Ⅴ）真分式放缩：；假分式放缩： （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知，可设； 已知，可设； 已知，可设； 已知，可设。 （7）构造法：通过构造函数、图象与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法、放缩法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。 二、能力巩固 考点一：均值不等式与最值 1.已知，，则的最小值______________。 2．设，最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 3.已知，且，若，则的最大值为_____________。 4.已知都在区间内，且，则函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 5.若是与的等比中项，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 6．设是定义其中分别是的面积，的最小值是_______________。 7．若a,b均为正实数，且恒成立，则m的最小值对任意正实数、都成立，则的最大值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 （2）若对于任意的实数且，不等式恒成立，则实数的最值都是整数，且满足，则的最大可能值为（ ） A. 32 B. 25 C. 18 D. 16 9. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 练习：使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 10．若实数满足，则的最小值且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 练习：若且，则的最小值为_______________。 12.已知不等式对于恒成立，则的取值范围___________________。 13.若实数满足,则的最大值是 A. B. C. D. 14．已知实数不全为零，设正数满足，令的最大值为 ，则的最小值为______