数学函数值域求法打印.docVIP

高考数学函数值域测试 1.函数y=x2+ (x≤－)的值域是 2.函数y=x+的值域是 3.设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=___ 时，x12+x22有最小值_____. 4.已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］ (1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围. 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x. (1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域. (2)求函数f(x)的最小值. 6．设m是实数，记M={m|m1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+). (1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M. (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值. (3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 7．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 1.解析：∵m1=x2在(－∞,－）上是减函数，m2=在(－∞,－）上是减函数， ∴y=x2+在x∈(－∞,－)上为减函数,∴y=x2+ (x≤－)的值域为［－，+∞. 2.令=t(t≥0),则x=.∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1∴值域为(－∞,1. 3.由韦达定理知：x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2－,又x1,x2为实根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－)2－在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞上是增函数又抛物线y开口向上且以m=为对称轴.故m=1时， ymin=. 4.解：(1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+10对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是， ∴a＜－1或a.又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤－1或a为所求. (2）依题意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有,解得1＜a≤,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤为所求. 5.解：(1）如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=, ∴S1=πah+πbh=, ∴f(x)= ① 又 代入①消c，得f(x)=. 在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,则 x==sinA+cosA=sin(A+).∴1＜x≤. (2)f(x)= +6,设t=x－1,则t∈(0, －1),y=2(t+)+6在(0，－1上是减函数，∴当x=(－1)+1=时，f(x)的最小值为6+8. 6.解(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］, 当m∈M时，m1,∴(x－m)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R. 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m1,故m∈M. (2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.而u=(x－2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值. (3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立. ∴log3(m+)≥log33=1. 解: (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　 令x=y=0f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0， 则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立， 所以f(x) (2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数， 又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， ∴ k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立． 令t=30，问题等价于t-(1+k)t+2＞0 对任意t＞0恒成立． R恒成立．