【微积分课件】原函数和不定积分1.docVIP

第五章 不定积分 (The indefinite integration ) 第十二讲 原函数及不定积分 课后作业： 阅读：第五章 5.1: pp124---125; 5.2: pp125---129; 5.3: pp131---132; 预习：第五章 5.4: pp135---137; 5.5: pp138---141; 5.6:pp. 143---149 练习 pp.129---131: 习题 5.2: 1; 3; 4; 7中的单号题; 10; 11. pp.133---134: 习题 5.3: 1, 2,3,4各题中的单号题; 6; 7; 9. 作业 pp.129---131: 习题 5.2: 2; 5; 6; 7中的双号题; 8; 9; 12. pp.133---134: 习题 5.3: 1, 2,3,4各题中的双号题; 5; 8; 10; 11. 引言： 运算与其逆运算； 问题与其反问题。 5-1 原函数和不定积分 5-1-1 原函数概念及性质 (一) 原函数概念 定义 如果在某区间上恒有, 则称是 在区间上的一个原函数. 例如, 在区间,是的一个原函数; 在区间,是的一个原函数. 在区间,,是的一个原函数; 也是的一个原函数等等. 因, 可知： 是在上的原函数, 也是在 上的原函数 注：一个函数在某区间I上是否存在原函数，这有侍下一章研究，但有一个重要结论：在一区间上连续的函数一定有原函数。 (二) 原函数的性质 性质一：都是在区间上的原函数,则存在常数, 使得.或者说，同一函数的两个原函之间只 差一个常数。 证明： 是在区间上的两个原函数 . 性质二：若都是在区间上的一个原函数, 则 函数集合是的所有原函数。 证明： 首先, , , ; 再者， , . 重要结论： 若在区间上存在原函数,则在区间 上的所有原函数都可以写成的形式. 5-1-2 不定积分概念及性质 不定积分定义: 如果在区间上存在原函数,则所有原函 数的集合 , 称为在区间 上的不定积分.记作 或写成： (二) 不定积分的性质 性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即 (1) 若有原函数, 则 , . （2）若 , 可导, 且导函数连续, 则 , 定理: (不定积分运算的线性性) 若有原函数,则 （1） (2）若，则 例1: 在区间,是的原函数, ; 在区间,是的原函数,; 例2:设,求在区间上的不定积分. 解: 在区间上, 是的所有原函数; 在区间上, 是的所有原函数.由于任一原 函数在区间内可导，当然连续, 由此条件可知，只有当: 时， 在区间才连续可微, 且处处有. 因此, 在区间是的一个原函数.且 5-1-3 基本积分表 由于求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。 (一) 基本积分表 以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表. (1) (2) (3) () (4) (5) , ( (6) , ( (7) , (8) , (9) , ( ) **, (11) , ( (12) **, ( 例3 求不定积分 解：= 例5 求不定积分 解:利用三角恒等式得到 . 例6 求不定积分 解: == = = 5.2 凑微分法 (第一换元法) 凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定积分中的运用。 ,且连续可导 , 即，就是的原函数.因此得到结论: 定理:(凑微分法) 若,连续可导，则 例7 求不定积分 解：令 , 例8: 求不定积分 解: 令,则有 ; ; ; 例9: 求不定积分和. 解: . 因为,所以有