【微积分讲解】重积分例讲.docVIP

第四章 重积分 第七节重积分例讲 7-1 二重积分 例一，计算二重积分 , 其中. 解： y 1 D2 D1 0 1 x = =; == y (=Sin(/2 (=Sin(/4 (=Cos(/2 0 x (=Cos(/4 例二， 求二重积分:, . 解：= == = 例三， 求二重积分:, 其中 , . 解：考虑极坐标系, . = == 因为：= = == = == y A O1 D1 O x D2 例四， 求二重积分: 解：如图，切点, 小园园心; ; ==; = ==; = =; 例五，(021) ，其中：。 解： == =. 例六， 证明；,, y a r 证明： 由,得 由此得 ; 即： 例七， 若, 单调减, 设 是在上曲边梯形的重心坐标; 是在上曲边梯形的重心坐标; 证明： 证明: 因： 则， = 例八，若, 证明： . 证明： 首先有：= ; 再者：有： 令 . 即 综合在一起有： 另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数, 则乘积的最大值为, 即 当时, 取最大值，即. 7-2 三重积分 例九， 求三重积分: , 其中 . 解：由函数与域的对称性； = 球坐标系: ; 柱坐标系: ; 直角坐标系: 先对积分: 例十， 设, , 是半径为，球心在原点的球面所围成之域， 且, , 证明： , 其中，；是域的体积， 。 证： ; ; 即: . 例十一，求半径为密度为常数的球体, 所产生的引力场。 解： = = , . 在球坐标系下： , . 7-3曲面积分 例十二， 是椭球面的上半部分, 点, 为在点处之切平面,为原点到平面的距离，求 () 解：切平面： . 原点到的距离; . 例十三，设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程, (设长度单位为厘米，时间单位为小时)， 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9 ) 问高为130厘米的雪堆全部融化需多少小时? 雪堆体积： = 雪堆表面积： = = 融化规律： ; 100小时. 第十二章 重积分 第十二章 重积分 y D 2 D1 0 x z a (x,y,z) R y x