【微积分讲解】微积分习题与补充题.docVIP

习题与补充题 习题 1. 证明是常向量的充要条件是。 2. 设(0是常数，a0是常向量，证明 (1) (2) (3) (4) 3. 下列等式成立吗？为什么？ (1) ； (2) ； (3) 4. 设向量函数a(t)满足，证明a(t)是常向量。 5. 证明为共面向量函数。 6. 证明：, 为共面向量函数的充要条件是。 7. 试证明 与 是同一条曲线的两种不同的表示式。 8. 求曲线在t=0处的切线方程。 9. 求曲线在任意点处的法平面方程。 10. 求下列曲线的切线和法平面议程： (1) r=(acost, asint, bt), t=0； (2) r=(t, t2, t3), t=1； (3) 11. 求下列曲线的副法线和密切平面方程 (1) r=(acost, bsint, e(), t=0； (2) r=(acost+bsint, asint+bcost, csin2t), 12. 求曲线r=(t, t2, t3)在t=1处的主法线和从切平面方程。 13. 证明球面曲线的法平面通过球心。 14. 计算圆锥螺线的弧长公式（从0到t）。 15. 求下列平面曲线的弧长公式及弧长。 (1) 曲线由直角坐标中显示表示； (2) 曲线由极坐标方程表示(＝( (()，对数螺线。 16. 将方程r=(acost, asint, bt)（圆柱螺线）化成以弧长为参数的方程。 17. 求曲线r=(tsint, tcost, te()在t=0处的弗雷耐标架。 18. 在下列曲线的曲率k和挠率(： (1) r=(acht, asht, at)； (2) r=(t－sint, 1－cost, t)； (3) r=(tcost, tsint, at)（圆锥曲线）； (4) r=(t, t2, t3)。 19. 证明曲线是平面曲线。 20. 证明曲线r=(1+3t+2t2, 2－2t+5t2, 1－t2)是平面曲线。 21. 证明： (1) T(·N(＝0； (2) B(·N(＝0 22. 已知曲线r = r (s)，证明： (1) r(·r(＝0； (2) ； (3) (4) ； (5) 23. 证明 (1)（T，B，B(）＝(； (2) (3) 24. 试证明曲线r=r(t)在一般参数下的弗雷耐公式为 其中。 25. 已知曲线C：r=r(s)，证明：若曲线C的 (1) 所有切线通过定点，则C是直线； (2) 所有切线相互平行，则C是直线； (3) 所有主法线通过定点，则C是圆； (4) 所有切线平行于同一平面，则C是平面曲线。 26. 计算下列颊曲线的曲率k: (1) 椭圆r=(acost, bsint), 0 ( t ( 2 (； (2) 抛物线y=x2； (3) 星形线r=(acos3t, asin3t) 27. 求下列曲线的包络： (1) y=(x－c)2 (2) 爷角为a的弹道曲线，其中g是重力加速度，v0为初速，a为参数。 28. 设半径为r的动圆中心位于椭圆r(acos(, bsin()上，求动圆的包络。 29. 设(=ck, c为常数，写出此曲线的参数方程。 30. 已给r=r(r)的单位副法线向量为，求它的单位切向量T和单位主法线向量N。证明曲线是一般螺线，并求它的曲率和挠率的比值。 31. 证明曲线r(t)=(3t, 3t2, 2t3)是一般螺线。 32. 证明下列曲线是球面曲线。 (1) r=(asin2t, asintcost, acost)； (2) r=(－cos2(, －2cos(, sin2() 33. 证明：当且仅当球面曲线是圆周时，其曲率不变。 34. 试证明：在平面场合，曲线C：r = ( x ( t ) , y ( t ) )的渐缩线的参数方程为 35*. 在平面场合，求下列曲线的渐缩线： （1）势物线y2=2px；（2）椭圆r=(acost, bsint) 补充题 1. 证明：曲线r (x (t) , y (t), z (t) )为平面曲线的充要条件是。 2. 设D是半径为r的球面，而C是一条空间曲线，方程为r = r (s)（s为弧长参数），证明： (1) 若曲线的所有的法平面与D相切，则 (2) 若曲线的所有密切平面与D相切，则r(s)或为平面曲线或满足方程 3. 秩，求C的切线与法平面。 4. 已知曲线r=r(s)的曲率k和挠率(，试寻求向量函数((s)，使下式成立： 5. 证明曲线： 在t=0处的曲率和挠率分别为k0和(0，而且T(0), N(0), B(0)分别重合于x, y, z轴。 6. 证明曲线： 是一般螺线。 7. 凤曲线：是一般螺线，求出a, b之间的关系，并求出对应的固定向量u。 8. 证明下