【微积分讲解】隐函数与隐函数的导数.docVIP

第二章 第四节 隐函数微分法 2-4 隐函数与隐函数的导数 2-4-1 隐函数求导 2-4-2 隐函数存在性问题 辅导课事宜 序 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自21, 自22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 22--4122 自23, 自24, 其他系(15) 张李军 20--304 3 自25, 自26, 自27 陈 明 11--115 班 级 助教姓名 时间 上课地点 1 自21, 自22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 星期二(4) 四教 ? 2 自25, 自26, 自27 陈 明 星期二(5) 四教4209 3 自23, 自24, 其他系(15) 张李军 星期二(4) 四教4203 第 五、七、九、十一、十三、十五、周上课 第五讲 隐函数和隐函数微分法 课后作业： 阅读：第二章 第四节 : pp. 50---56 预习：第二章 第四节 4.3 : pp. 56---58; 第五节 5.2: pp. 60---63 作业: 第二章 习题4: pp. 58---59 : 1; 2; 3; 4; 5. 2-4 隐函数与隐函数的导数 隐函数问题的提出 设是一个二元函数，对于方程 , 如果在区间中的所有的，都存在唯一的，使得满足上述方程, 即有 那么就说: 由方程 确定了上的一个隐函数(implicit function) 。 要注意的是，并非任何二元方程都能确定隐函数。首先，方程可能无解；即使这个方程的构成的集合不是空集, 那么由这个方程就可以确定变量与之间的一种对应关系，但不一定能构成函数关系，也就是说,不一定能表示为对于(或者对于)的单值对应关系。这就是所谓隐函数存在性问题。 在几何上,这个问题是： 设是一个二元函数,在几何上是空问中一张曲面。 首先，方程是否有解？在几何上就是: 这张曲面与坐标平面是否有交？ 其次，若有交，交集是否确定平面上的一条曲线? 如果能,这条曲线能否表示为(或者). 如果不能整个地表示为(或者),那么这条曲线的某一部分能否表示为(或者)? 例如考察圆周: ,显然,整个圆周既不能表示为,也不能表示为.但是 在点的某个邻域中的那部分曲线可以表示为； 在点的某个邻域中的那部分曲线可以表示为. 对于隐函数问题，首先有以下几个方面需要研究: 1.如何判定隐函数的存在性？它的定义域如何确定？ 2.如何通过已知函数的性质去研究隐函数的性 质，如连续性，可微性等. 3.如何计算隐函数的（偏）导数与（全）微分？ 2-4-1 隐函数求导 我们先假设隐函数存在，且可导，来讨论求导问题. 若函数, 由方程确定，求导之函数？ 按隐函数定义有恒等式： 从这是可见：函数可导有一个必要条件是，. 例1已知函数由方程 是常数， 求导函数。 若函数, 由方程确定，求导之函数？ 将看作是的函数,对于方程 两端分别关于求偏导数得到 由这个方程求解,就可以得到所得公式 . 例2方程在哪些点的邻域中能够确定隐函数 ?在隐函数存在之处,求. 解 取， 因为，所以只要,根据定理11.3.2,在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为. 这个隐函数定义在的某个邻域中,并且有 当时, 在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为 . 这个隐函数定义在的某个邻域中. 同样, 当时, 在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为. 这个隐函数定义在的某个邻域中. 若向量函数, 由方程组 即确定， 求向量函数之导函数？ 将看作是的函数,则 或 分别对每一个方程的两端求关于偏导数,得到 , 即 解这个方程组得到 即 如果从向量函数的方程 出发，用向量函数的导数则在记号上很简单，而且与二元方程隐函数公式很相似。 或者 即 . 由此可得到关于函数方程组有隐函数可导的必要条件是：