【微积分课件】数列极限的存在性与函数极限.pptVIP

* 作业 P24 习题1.3 4. 8. 复习：P5—27 预习：P28—34 P35 习题1.4 1. 7(1)(3). 10. 第三讲 数列极限的存在性与函数极限 二、函数极限 一、数列极限的存在性（续） 一、数列极限的存在性 （二）单调有界定理： （一）夹逼收敛准则： 单调增（减）有上（下）界数列， 必有极限. 柯西数列： （四）柯西收敛准则： 数列收敛的充分必要条件是该数列 是柯西数列. （三）子数列收敛准则： 任何有界数列，必有收敛的子列. 4. 区间套定理： 任意一个区间套一定能套住一个实数 3. 证明子数列收敛准则： 思路：先选一子序列，再证明该子序列收敛。 （a)选子序列(利用两分法选子序列) 有界数列，必有收敛的子列. 在每一个子数列中选一个数，记为 证毕 聚点 4. 证明柯西收敛准则： ? 必要性易证 ? 充分性证明思想 数列收敛的充分必要条件是该数列 是柯西数列. [例1] [证] 能否去掉前半部分的证明，直接对 (*)式两边取极限？ 考虑例题 利用单调有界定理，可以得到一个重要结果 [例2] [证明] 只须证明什麽？ 利用牛顿二项式定理, 有 根据单调有界数列定理知 根据证明过程可知 [例3] (1) 猜出来 (2) 证明 思考题 函数极限与数列极限有什麽相同与 不同之处？ 更重要的是不同之处！ 函数 数列 不同之处？ 自变量变化花样多！ 怎样描述各种变化？ 二、函数的极限 定义1： （一）函数极限的定义 1. 函数在一点的极限 [注意1] 考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。 [例] [注意2] ( ) ( ) [例1] 观察知 [证] 证毕 [例2] 用定义证明 [证明] 显然 证毕 （二）复合函数的极限定理 要证什麽？ [证] [注] 看证明，从理论上，非此不行！ 看例子： * *