【微积分讲解】二重积的计算习题讨论.docVIP

第四章 重积分 二重积的计算习题讨论 讨 论 题 目: 1. 计算累次积分 2. 计算二重积分 , 其中. 3. 求二重积分:, 其中. 4. 求二重积分: 其中. 5. 求二重积分: 6. 求三重积分: 其中. 7. 设, , 且 , ,证明： , 其中，是域的体积。 8. 证明；, . 9. 若, 单调减, 设 是在上曲边梯形的重心坐标; 是在上曲边梯形的重心坐标; 证明： 10.若, 证明： . 参 考 解 答: 1. 计算累次积分 解: == 2. 计算二重积分 , 其中. 解： y 1 D2 D1 0 1 x = =; = = y (=Sin(/2 (=Sin(/4 (=Cos(/2 0 x (=Cos(/4 3. 求二重积分:, . 解：= == = 4. 求二重积分: 其中. 解：考虑极坐标系, . = == 因为：= = =. = = == y A O1 D1 O x D2 5. 求二重积分: 解：如图，切点, 小园园心; ; ==; = = = =; == =; 6. 求三重积分: , 其中 . 解：由函数与域的对称性； = 球坐标系: ; 柱坐标系: ; 直角坐标系: 先对积分: 7. 设, , 是半径为，球心在原点的球面所围成之域， 且, , 证明： , 其中，；是域的体积， 。 证： ; ; 即: 8. 证明； , y a r 证明： 由,得 由此得 ; 即： 9. 若, 单调减, 设 是在上曲边梯形的重心坐标; 是在上曲边梯形的重心坐标; 证明： 证明: 因： 则， = 10.若, 证明： . 证明： 首先有：= ; 再者：有： 令 , . 即 综合在一起有： 另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数, 则乘积的最大值为, 即 当时, 取最大值，即. 第四章 重积分 重积分习题讨论 y y=2 y=x y=x1/2 0 1 2 4 x