【微积分讲解】二重积的概念与性质中的应用.docVIP

第四章 重积分 4-1重积分的概念与性质 4-1-1引言、背景 4-1-2 重积分定义 4-1-3 重积分性质 第十一讲 二重积的概念与性质中的应用 课后作业： 阅读：第四章 第一节 重积分的概念与性质 pp.97---101 预习： 第二节 二重积分的计算 pp.102---109 作业: 第四章 习题1: p. 102 : 1,(1); 2,(1); 3, (2); 4; 5; 8, (1), (2). 4-1-1引言、背景 定积分作为积分和式这种概念向多元函数的推广，就是重积分。 z z = f(x ,y) Pi y y +d y y y x d ( x + d x D x 例一 曲顶柱体的体积 曲顶柱体是 空间一区域，由三张曲面围成: 第一张, 由表示的空间曲面 第二张: 位于上述函数定义域内的(平面上) 有界闭区域; 第三张：是母线与平行于轴、垂直于的柱面柱面. 如何求曲顶柱体的体积？ 首先，分小取近似：即： 将区域分割成小块：(也表每小块面积)； 相应地也被分成了个小曲顶柱体，(也表每小曲顶柱体之体积), 显然可得近似值： 其中, . 接着，求和取极限：即： 因此得到曲顶柱体的体积的一个近似值 , 可以认为，其极限值 (如果存在)就是其体积, 这里 , 例二 非均匀分布的质量计算 设有一块薄板, 薄板上有质量分布不均匀的物质.那么如何求薄板的质量? 用表示薄板占据的平面有界区域, 并且用 表示区域(即薄板上)中的点处的密度. 首先，分小取近似：即： 将区域分割成小块：(也表每小块面积)； 相应地薄板质量也被分成了个小块薄板，(也表每小块薄板之质量), 显然可得近似值： 其中, . 接着，求和取极限：即： 因此得到薄板质量的一个近似值 , 可以认为，其极限值 以上两个问题的具体意义不同,但是解决问题的思想方法确是相同的.如果我们忽略问题的具体的几何意义与物理意义,只注意解决问题过程中的数学思想,就得到二元函数在有界区域上的积分概念. 4-1-2 重积分定义 在一元函数微积分学中， 黎曼积分是作为一种和式的极限而定义的. 现在在二元函数中先于以推广： 设: , 为了叙述方便，先引进几个名词. 划分: 将一个平面或空间的区域分成份，使得：; 且 , 称是的一个划分, 记为：, 称为的一个子域； 集合的直径 , 设是一点集 称为集合的直径 划分的直径 称为划分的直径. 定义1 设, 是有界闭区域，若对于的任意划分，及任意取点 ， 积分和式的极限 存在，则称在上(黎曼)可积，记, 此极限称为在上的二重积分，记作 ; 是二重积分号,是积分域，是被积函数，为面积元. 若用“”语言，可以用如下的形式描述二重积分的定义： 定义1’ 设, 是有界闭区域，如果有常数, ，, 对于的任意划分， 及任意取点 ， 只要，就有 成立， 则称在上可积，其中的为在上的二重积分. 这样：曲顶柱体的体积就是在上的二重积分值，即 类似地，面密度为的平面薄板的质量是 . 类似地可以给出，三重积分的定义. 定义2 设, 是有界闭区域，若对于的任意划分,及任意取点 ， 积分和式的极限 存在，则称在上(黎曼)可积，记, 此极限称为在上的三重积分，记作 ; 是三重积分号, 是积分域，是被积函数，为面积元. 其中: 是三重积分号，是积分域，是被积函数，是体积元. 这里的是的划分的直径; 又表子区域的体积. 4-1-3 重积分性质 从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都是反映函数整体性质的一个量，且定义方式也是一样的.因此定积分的所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有关性质. 至于三重分则完全雷同, 其性质请自行给出. 设, 是有界闭区域. 重积分的存在性： 定理 (可积的必要条件） 若在有界闭域上可积，则在上有界. 定理 (可积的充分必要条件）设, 是有界闭区域，二则二重积分存在的充要条件是： 对于的任意划分，极限 , 其中 为函数在子域上的振幅。 可积函数类I: