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第二章 多元函数微分学 11-Exe-2 习题讨论(II) 11-Exe-2-1 讨论题 11-Exe-2-1 参考解答 习 题 讨 论 题 目 若函数,由方程确定，其为常数, , 证明： 由确定的曲面上任一点的切平面共点； 函数满足偏微分方程: . 今有三个二次曲面： 2．设曲面S由方程确定, 试证明：曲面S上任一点的法线与某定直线相交。 3. 其中，, , 均为常数。证明：在三曲面的交点处，三曲面正交。 设方程 确定函数, 求其极值。 ( 处为极小点，)。 证明: n边园内接多边形中，面积最大者是n正边形。 设为空间光滑曲面, 在该曲面同侧有两点, ，今一光线从射出，经曲面再反射到，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时，入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面在该点法线立夹角)。 是三角形中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成另一个三角形。试问在何处时，此新三角形面积最大？ 解 答 参 考 若函数,由方程确定，其为常数, , 证明： 由确定的曲面上任一点的切平面共点； 函数满足偏微分方程: . 证明：(法1) 两边对和y求导： 切平面： 切平面总是过点 将对和再求导: 若 (解2) : 切平面总是过点 2．设曲面S由方程确定, 试证明：曲面S上任一点的法线与某定直线相交。 (证一) 其中： 法线与向量和共面，即与定直线 总相交或平行 若, 则不会平行。 (证二) (证二) 3. 今有三个二次曲面： 其中，, , 均为常数。证明：在三曲面的交点处，三曲面正交。 解： 总是有三个不同的形成如此的三个曲面：因为 , 在区间端点异号，因此有三个不同实根。 在三曲面的交点处：三曲面之法向量： ; = =. [注]: = 设方程 确定函数, 求其极值。 (法一) 用无条件极值求： 求驻点： 用代入上式： ( 处为极小点，)。 证明: n边园内接多边形中，面积最大者是n正边形。 设为空间光滑曲面, 在该曲面同侧有两点, ，今一光线从射出，经曲面再反射到，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时，入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面在该点法线立夹角)。 解：令 , ; , , . 是三角形中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成另一个三角形。试问在何处时，此新三角形面积最大？ C E D y x P z B F A 解: 设三角形的三内角分别为 ; 三角形的三边为 ; 三角形的面积为 过的三边垂线长为： ; 则问题变成： ; 令 , , = =,其中是三角形内切园半径。 . 第二章 多元微分学 第二章 习题讨论