【微积分讲解】偏导数与全微分.docVIP

第二章 多元函数微分学 第二节 偏导数与全微分 2-1偏导数定义与计算 2-2多元函数的微分 2-3微分的几何意义 序 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自21, 自22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 22--4122 自23, 自24, 其他系(15) 张李军 20--309 3 自25, 自26, 自27 陈 明 11--115 第三讲 偏导数与全微分 课后作业： 复习阅读：第一章 pp. 01---21, 己在代数中学，请抽时间复习。 阅读：第二章 第二节 : pp. 29----38 预习：第二章 第二节 : pp. 40---49 作业: 第二章 习题2: pp.39---40 : 1,(2), (5), (6), (7); 2, (2), (3), (5); 4, (2); 5, (2), (4), (6); 6; 7. 第三讲 多元函数的偏导数与全微分 2-1 偏导数定义与计算 以下讨论，不作特别声明，均以二元函数 , , 为对象 (-)多元函数偏导数定义： (1) 定义: 若对, 极限 存在，则称此极限值为在点关于(对)的偏导数, 记成,, 或。 同样可定义：若 存在，则称此极限值为在点关于(对)的偏导数,记成,, 或. , 存在，称之为关于(对)偏导函数,简称关于(对)偏导数；存在，称之为关于(对)偏导函数,简称关于(对)偏导数. 计算举例 : , , 高阶偏导数 (A) 定义：, 称为对的二阶偏导数; 称为(对和的)二阶混合偏导数; 类似可定义其他高阶混合偏导数. (B) 混合偏导数中求导次序的影响： 定理：若二阶混合偏导数连续，则与求导次序无关, 即： . 证明：== == 其中： = = = 做不下去了！ 稍改动一下：令 = = = = = 2-2 多元函数的微分 (一) 多元函数全微分的定义 多元函数在点的增量 多元函数在点的(全)微分: 若在有定义，且存在不依赖的,使 则称在点可微，并称线性函数为在点的全微分，记成 . 其中，, (二) 微分的性质： 偏导数存在是可微的必要条件：即 若 在点偏导数存在, 且, . 证明： =; ; 偏导数连续是可微的充分条件：即 若在点连续在点可微, 且, 证明： = = = = =. = 因为 (三)中函数, 和向量函数 微分的定义 中函数微分的定义: ,若的增量可表示成一个线性函数和高阶无穷小之和, 即：, 其中 , 则称在点可微. 记 ,称为在点的微分。 容易推证： 若在点可微, 则必有, , 从而有 , 在点的微分可写成: =。 若记 , 且称为的梯度(向量), 表的增量。, 则：在点的微分又可写成 关于多元函数可微性的充分条件为, 的一阶偏导数连续，记成, 另外, 若的所有阶偏导数连续，记. 向量函数 微分的定义: , 有两种定义方法： (1) 一是用数量函数的微分来定义向量函数的微分,若的增量可表示成：, 其中 , 则称在点可微. 称 , 称为向量函数在点的微分。 称矩阵: ,为向量函数的Jacobi矩阵, 则在点的微分可写成: =。 特别注意： (2) 第二种是仿照数量函数微分定义来定义向量函数的微分 ,若的增量可表示成一个线性映射, ,( 是矩阵) 和高阶无穷小之和, 即：, 其中 , 则称在点可微. 记 ,称为在点的微分。 容易推证： 若在点可微, 则必有, , 从而有 , 在点的微分 关于向量函数可微性的充分条件则为, 的各分量函数的一阶偏导数连续，记成. 2-3 微分的几何意义： 在点可微， = 上式中正是线性函数, 其几何上是过点的平面; 是过是过点的曲面. 因此，在点可微， 在函数逼近意义下是，在某邻域内，函数 与线性函数 之差是的高阶无穷小； 在几何意义下是，在，曲面与平面 是相切的