【微积分讲解】曲面面积和对曲面的积分.docVIP

第三章 重积分 2-4 曲面面积和对曲面的积分 2-4-1 空间曲面的定向与投影 2-4-2 空间曲面积分的定义与计算 第十四讲 曲面面积和对曲面的积分 课后作业： 阅读：第四章 第五节 曲面面积和曲面积分 pp.125---134 预习： 第六节 含参变量积分 pp.135---141 作业: 习题5: pp. 134--135 : 2; 3; 4,(2), (3) ; 5; 6. 4-4 对空间曲面积分 4-4-1 空间曲面的定向与投影 空间曲面的定向： 双侧曲面和单侧曲面: 在曲面S其上任一点P，取一法向量, 让沿在曲面上的任何曲线移动，当回到原处P时，法向量不会反向的曲面叫双侧曲线；否则称单侧曲面. 对于双侧曲面，我们从直观上可以定义法线指向不变的这一侧为正向；而单侧曲面是无法定向的。以下我们只讨论双侧曲面。 空间曲面的微分： 空间曲面S上P点处的面微分是一个向量，其大小是该点处曲面切平面的一块微小面积，而方向平行于该点曲面的法线方向，因此，P点处的面微分是, 是空间曲面S上P点处的单位法线方向. 由于 其中， 分别是与坐标轴的夹角。这样， = 这里， . z n S y dxdy x D(x,y) 如果曲面用 表示：则 = = 如果曲面用 表示：则 = = (3) 曲面用 表示; ; , =, 其中，, , . 4-4-2 空间曲面积分的定义与计算 z n S y dx dy x D(x,y) 定义： = 计算： (1) 曲面用 表示 = = (2) 曲面用 表示 = 其中，, , . 举例 z 6 y 6 x 例一：求柱面: 被上半球面: 所截取部分的面积。 z 6 z2 = 36 -6 y D(y,z) 6 y S1 和S2 的交线在坐标 面上之投影 : 解： = = = 求曲面对坐标面的矩及重心， = = = = == 曲面重心： 例二，设S是上半球面: 在锥面 中所围的区域。计算 . 设： 则： = == z h z1 (x,y) n ( z2 (x,y) n y D(x,y) x 例三，证明液体浮力定理。 证：设在微分曲面上的压力为： 力是向量，只有同方向才有可加性： = = = 例四, 设，为的模，设 外侧为正， 外侧为正。为外侧法矢量， 若, 则 ( C ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 解： 对球心在原点的球面，其法线向量及面微分向量： 例五. 曲面积分的取值范围是 ( C ). (A); (B) ; (C) ; (D) ; 解：解条件极值问题： 驻点有三类： 第一类：：函数值 第二类：, , : 函数值 第二类：,,: 函数值。 ; . 第三章 重积分 7 第四章 曲面面积和对曲面的积分积分