【线性系统课件】线性系统1.pptVIP

* 证明如下： 系统可控，要证 反证法：若 利用(1-48) 式 定理2-6 行线性无关，与可控矛盾。 要证系统可控。 若 反证法：若不可控， 上式对τ求导，再求导…，依次可得 令 矛盾。 与 若 要证 用反证法，若有一个 ，使 与 矛盾。 ，要证 反证法：若 存在可逆矩阵T，T是将 的后k行化为零行的行变换矩阵，即 矩阵 的后k行为零行。 记 ………… 依此类推，可得 综合起来，可知 应满足 而 的形式为 ，根据卡莱—哈密顿定理 因为 得 可以由 可得 由 的形式为 (以后将说明这就是可控分解的形式。) 故 的维数为k, 考察下式 且 (＊) 显然只要取 ，即可使右边矩阵的秩小于n。 的特征值 是 的特征值，因而也是 的特征值,也是A的特征值。 (＊) 式左端矩阵T与 不影响秩，故有 即存在 ,使 ,与假设相矛盾。故 关于定理2-6的6,的说明： 1, 可以将 换为 。(s为任意复数) 因为当s不是A的特征值时， 自然成立。 2, 当 是A的简单特征值时， , 不可控； , 可控。 说明 当 是A的重特征值时，若有 ，只能断言至少有一个 不可控,并不能说所有的 都不可控，究竟有几个 是可控的，几个 是不可控的，需要用其它方法补充研究。 (计算可控性矩阵的秩或进行可控性分解。) 例题 计算矩阵 的秩区别不出这三种不同情况。而可控性矩阵的秩却显示出这种差别。 有一个模态不可控； 有二个模态不可控； 有三个模态不可控； ,一个模态不可控； ,二个模态不可控； ,三个模态不可控； 对此例也可以直接用可控性分解来判断。 从输入、输出中是否可以唯一地确定状态？研究 因为 如果确定出x(t0)，就可以确定x(t) 。因此可观性成为由输入、输出中确定初始状态x(t0) 。 (＊) 分析(＊) 式，q个方程，n个未知数，因此只利用t时刻的输出值无法唯一确定x(t0) 。 如何得到n个方程？利用y在［ t0 t1］的值，通过加权处理。 得到n个未知数的n个方程。这组方程还必须可以解出唯一解。 可观性 Ax=b A：m×n rankA= n A满列秩 可以证明 ATA是可 逆阵。以AT左乘方 程两边 ATAx= ATb x= (ATA)-1ATb 从而得到方程的一 个广义逆解。 上式右端简记为y1，两边右乘 两边取积分 记 对照定理2-1，可知 非奇异的充分必要条件是 n行在［ t0 t1］上线性无关。 亦即 的 n 列在［ t0 t1］线性无关。 在讨论上述方程的可解性时，为了简化起见，可以不妨假定u=0。即只讨论从零输入响应中求初态。 关于定理2-11,6的说明 若定理2-11,6的条件不满足，即存在 说明α是A的属于特征值λ0的特征向量，它在C的核空间中。 λ0是不可观的模态。它对应的特征向量落在C的核中，输出y不反映λ0对应的运动模式。 例题 *