【线性系统课件】李雅普诺夫第二方法.pptVIP

* §7—4 李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法, 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方程的显式来对稳定性进行分析,这是一个间接的方法; 第二种方法不是求解微分方程组,而是通过构造所谓的李雅普诺夫函数来直接判断运动的稳定性,因此又称为直接法, (1892年博士论文：运动稳定性的一般问题) 目前仍是研究非线性、时变系统比较有效的方法。 例题7-7(P.247) 主要介绍李氏第二方法的思路 一，符号函数的定义 V(x) ：‖x ‖ ? V(0)=0 连续一阶偏导数 正定(负定) ： V(x)0 (0) 0‖x ‖ ? 半正定(半负定) ：V(x) ≥0 ( 0≤ ) 0‖x ‖ ? 变号：不是定号与常号 ? ε 0, 0‖x ‖ ε V(x)可以取到不同符号 正定函数 V(x) = Ci 0 的等值线示意图 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 ε 例： 变号 V(x1,x2) = x1x2 x1 x2 + + － － 讨论方程 (7-39) X = 0 是方程的解,现研究 x = 0 的稳定性. 函数V(x)沿方程(7-39)解的导数是指 若v(x)正定（负定），且沿方程（7-39）的导数 （7-40） 则（7-39）的零解稳定。 二，几个主要定理 定理7-20* 定理7-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程（7-39）解的导数 (7-40) 则（7-39）的零解渐近稳定。 随着t增加时，x变小, v正定 随着x增加而增加 负定,说明运动是按着使v减小 的方向进行的 定理7-20* 定理7-21* 定理7-21** v(x)0 v(x)0 v(x)0 渐近稳定 不恒为零 渐近稳定 稳定 定理7-21** 若v(x)正定（负定），v(x)沿方程（7-39）的导数 (7-40)* 且沿方程（7-39）的任一非零解 不恒为零，则（7-39）的零解渐近稳定。 定理7-22* 设v（x）, ‖x ‖ ? 满足 （1）在原点的任意小邻域内，存在v0区域，这种区域可能包含若干个子区域uj 。 uj的边界是由v=0和‖x ‖ = ?所组成。 （2）在某个子区域, 则（ 7-39）的零解是不稳定的。 ε 定理7-22*意义 x1 x2 v0： uj (j=1,2,3) u2 u1 u3 定理7-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵N，都 存在唯一的正定对称阵M，使得 （7—44） 三，线性系统二次型V函数 证明 P.253 几点说明 P.253 例题7-9 7-10 P.254 几点说明 P.253 1,矩阵方程（7—44）给出了构造这个二次型V函数的具体途径，在指定正定对称的N阵后可求解（7-44）所定义的(1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组。定理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组有唯一解存在。 2,在求解（7—44）时比较简单的是取N为单位阵 3, 当A中含有未确定参数时，可以先指定一个N阵，而后解（7—44）所确定的代数方程组，从而得到M阵，用塞尔维斯特定理写出M阵正定的条件，这样就可得到系统稳定时，A中的待定参数应满足的条件。应当指出，这些待定参数应满足的条件是和N阵的选择无关的。 4,需要引起注意的是，定理7-25并不意味着成立以下的命题，即 例7— 10 显然A的特征值均有负实部，M正定，但按（7—44）计算出的 却不是正定的。 “A渐近稳定，M正定，由（7—44）式所得的N一定正定。” P.254 例7-9 考虑二维系统 求系统渐近稳定时参数应满足的条件。 令N=1，由（7-44）式可得 上述方程组的系数矩阵A1的行列式为 若 ，方程组就有唯一解，其解为 由M正定的条件可得 此即系统渐近稳定的参数条件 由定理7-25可知，若 渐近稳定，一定存在正定二次型V(x)= xT M x 作为它的李雅普诺夫函数，并且 =-xT N x是负定二次型,，这一事实的几何意义可说明如下。 考察曲面 取一正的数列， 且 。 是状态空间中以原点为中心的椭球面，并且当 时有 而当 时, 到原点，即这些椭球面层层相套最终收缩于原点。 收缩 另一方面状态空间的任一点可属于某个椭球面，因而对应于某