【现代控制系统课件】频域稳定性.pptVIP

b) 从 变到 (c) 从 变到 此时， 由 变到 ，围线的相角从 变到 ，围线的幅值总是为零或常数。 d) 从 变到 根据对称性质绘制。 注意到在s右半平面没有GH(s)的极点，即P=0. 不管增益值K和时间常数值 取何值，围线 都不包 围 点，即N=0. 故Z=N+P=0，说明系统稳定。 一般性的结论： 1）对称性 2） ， ， 的幅值为零或常数。 何时为常数？ 例3 有三个极点的系统 s平面的原点映射成半径为无穷大的半圆; s平面上的半圆 映射成 平面的原点。 上的实频极坐标图 当ω=0+时， 的相角为 ，幅值为无穷大。 当ω趋于 时，有 幅值为0，说明轨迹必然穿过 平面 相角为-270， 的u轴。 通过设 的虚部等于零，可以求出轨迹 与实轴的交点。 令 当 ， 系统稳定 例4 在原点有二个极点的系统 的相角总是小于或等于 ，当 的轨迹都在u轴的上方。 对于绕过s平面原点的小半圆 ，则有 , 当 变化到 时，围线 的相角从 变化 到 ，即变化了一个 弧度的圆。 ， 对应于GH(s)平面中的原点。 闭环系统有二个根在右半平面，于是不管增益K取何 值，系统都是不稳定的。 例5 在s右半平面有一个极点的系统 1) 当 时，开环传递函数为 该开环传递函数在右半平面有一个极点，所以P=1。 在绕过平面原点的小半圆上，设 ， 于是有 当 ， ， 围线 位于 平面的原点附近，相角沿逆时针方向 变化了 弧度。 于是不管增益 为何值，系统都是不稳定的。 可知，闭环系统有二个根在右半平面（Z=N+P）。 第9章 频域稳定性 本章将通过说明频率响应法如何能够用于研究稳定性， 来进一步讨论系统的稳定性问题。在Bode图和Nyquist图 的情形下，详细介绍了增益裕量、相位裕量和带宽等重要 概念。研究了称为Nyquist稳定判据的频率响应稳定性结 论，并通过几个有趣的例子来说明了Nyquist稳定判据的 应用。本章还讨论了纯时延环节对系统稳定性和性能的 影响。 主要内容： 1）s平面上围线映射； 2）Nyquist稳定性判据 ； 3）相对稳定性和Nyquist稳定性判据 ； 4）在频域中规定的时域性能判据； 5）系统带宽； 6）时延系统的稳定性； 7）频域中的PID控制器； 8) Matlab仿真 9.1 引言 H.Nyquist在1932年就提出了频域稳定性判据。迄今， 该方法仍然是研究线性控制系统稳定性的基本方法。 Nyquist稳定性判据（Nyquist stability criterion） 是以复变函数理论的Cauchy定理为理论基础的。 Cauchy定理虽然涉及复平面的围线映射（mapping contours）概念，所幸的是，不必用复变理论作严格 的证明就能理解该定理。 为了确定闭环系统的相对稳定性，必须研究系统的特征方程： 其中对单环系统， 对多环系统，特征方程为 为了使系统稳定，必须确定的所有零点是 否都位于 左半平面。于是，Nyquist提出了将右半平面映射到 平面，并由此得出Nyquist稳定判据。为了理解和应用 Nyquist判据，首先简要介绍复平面上的围线映射的概 念。 9.2 s-平面上的围线映射 一) 围线映射（contour map）是通过关系函数将一个 平面上的围线或轨迹映射或变换到另一个平面上。 是关于变量s的函数， 取 ，则 也为复数，可以在F(s)复平面上用坐标u和v表示映射 结果。 考察函数 和图9.2(a)所示的s平面上的围线。 如果通过关系式将s平面上的单位正方形围线映射到 复平面上，则有 从而 图 9.2 保角映射 闭合曲线映射成闭合曲线 沿围线顺时针行进的方向是正方向并且围线所包 围的区域是在右侧的区域，该区域称为围线的包 围区域 ④ “顺时针，向右看” 再考察一个围线映射的例子，其中s平面上的围线仍为 单位正方形，映射函数 为 s 的有理函数，即 图 9.3 二) Cauchy定理 对于在围线内具有有限个极点和零点的函数F(s)，Cauchy 定理给出了围线映射的结论。 F(s)是特征函数，有 其中 于是 而且F(s)和L(s)有相同的极点。但是，F(s)的零点才是 系统的特征根并决定系统响应的性质。 系统的输出为 F(s)的分子多项式才是闭环传递