【现代控制系统课件】根轨迹法.pptVIP

渐近线的交点是 这里有三对渐近线，因为np－nz=3。渐近线的倾角是： фA=＋60°，q=0， фA=180°，q=1， фA=300°，q=2， 因根轨迹必须开始于极点，所以有二个轨迹必须离开 在s=－4的双重极点。于是，用绘于图7.7(a)的渐近线， 我们可以绘出如示于图7.7(a)的根轨迹。在靠近σA区域 中的轨迹实际形状在需要时可以用图解法求得。 第8步：用Routh－Hurewitz判据确定轨迹与虚轴的交点（若相交的话）。实际上根轨迹通过虚轴的点可以用Routh－Hurewitz判据很容易求出。 第9步：确定在实轴上的分离点（若有的话）。 根轨迹在s-平面某一点相遇后又立即分开，这一点称为分离点。分离点一般在多重根（一般是二重根）。根轨迹在分离点的切线是在360°内等距离分开。所以，在图7.8(a)中的二条根轨迹在分离点相差180°，而在图7.8(b)中四条根轨迹相差90°。 图7.8 分离点(a)简单二阶系统和(b) 四阶系统 在实轴上的分离点可以用求解分式方程或求导方法求得。 方法1：分离点的坐标 由下式决定： 方法2：分离点的坐标 由下式求得： 由特征方程式 当K有一个微小的增量，我们有 因为分母就是原来的特征方程式，在一个分离点处有多 重根轨迹存在，并且 Δs趋近于零 例3 三阶系统 s=－2.45 第10步：用幅角条件确定根轨迹离开一个极点的出射角和到一个零点的入射角。根轨迹离开一个极点的出射角是所有其他极点和零点的净角度和临界角±180°(2q＋1)之间的差值。入射角可同样定义。 例4：考虑三阶开环传递函数 图7.12 出射角 (a) 在距离p1无限小距离的测试点； (b) 在p1的实际离去矢量 在距离p1无限小距离的测试点s1的幅角必须满足幅角条件。 所以由于θ2=90°，我们有 θ1＋θ2＋θ3=θ1＋90°＋θ3=＋180° 即在极点p1的出射角是 θ1=90°－θ3 第11步：在根sx, x=1,2,……np处确定满足相位条件的根的位置。相位条件是： 第12步：用幅值条件确定在特定的根sx处的参数K的数值。在根sx处的幅值条件是 例5：用四阶系统的例子中加以说明根轨迹绘制方法。 1.当K0变化时我们要绘出一个系统的特征方程式的 根轨迹，其特征程式是 2. 用极点和零点形式表示特征方程式。 3.极点和零点在s－平面上的分布如图7.14(a)所示。 一个闭环控制系统的稳定性和瞬态性能是直接和特征方程式在平面内闭环根的位置有关的。常常需要调整系统的一个或几个参数以得到合适的根的位置。所以，当参数变化时研究给定系统特征方程式的根在s－平面上如何移动是很有价值的。也就是说当一个参数变化时研究s平面内根的轨迹是很有用的。根轨迹法是由Evans在1948年提出的并且在控制工程中得到很大的发展和应用。根轨迹技术是当一个参数变化时在s－平面中绘出根的轨迹的一种图解方法。 第7章 根轨迹法 7.1 根轨迹的概念 7.2 绘制根轨迹的方法 7.3 用根轨迹法分析和设计控制系统 7.4 用根轨迹法设计参数 7.5 灵敏度和根轨迹 7.6 PID控制器 7.7 设计举例: 激光操纵器控制系统设计 机器人控制系统设计 7.8 应用MATLAB绘制根轨迹 主要内容： 图 7.1 有一个可变参数K的闭环控制系统 其传递函数为 其特征方程式为 式中K是一个可变参数。 7.1 根轨迹的概念 一）单回路 将特征方程写成极坐标形式为 从而 式中k=0,±1, ±2, ±3,…。 根轨迹是当系统参数变化时特征方程式的根 在s－平面内变化的轨迹。 图7.2 单位反馈控制系统，增益K是一个可变参数 该系统的特征方程式是 或 当增益K变化时根轨迹要求满足 其中增益K可以由零变到一个无穷大的正数。 上述二阶系统的极点为 ζ=0 两个共轭复根，实部为0； 0〈ζ1 两个共轭复根，实部为负； ζ=1 两个相等负实根； ζ 〉1 两个不等负实根。 ， 当0〈ζ1时，令此时虚部为正数的极点为s1， 在垂直线上任何点都满足角度的要求，因为它是实轴由0到－2的垂直等分线。 图7.3 二阶系统的根轨迹 二）多回路 由梅逊公式可以得到 其形如 因此特征方程为 函数F(s)一般可以写成 于是根轨迹的幅值和幅角条件分别为 三）其他参数变化时的根轨迹 考虑图7.5(a)所示的二阶系统。参数a的变化对根轨迹 的影响可以通过将a作为分子中的一个乘数，重新对根 轨迹形式写出特征方程式来描述。于是，特征方