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第三章 静电场分析 3.1 电场强度与电位函数 （17.18学时） 3.2 静电场的基本方程 3.3 电介质的极化与电通量密度 （19.20学时） 3.4 导体的电容 3.5 静电场的边界条件 （21.22学时） 3.6 恒定电场 3.7 静电场边值问题（23.24学时） 习 题 第17.18学时3.1 电场强度与电位函数 库仑定律（Couloms Law）是静电现象的基本实验定律，表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力：正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力（如图所示），表达式为 点电荷的电场强度 设q为位于点S(x′, y′, z′)处的点电荷，在其电场中点P(x,y, z)处引入试验电荷qt，如图所示。根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（Ｅelectric Field Intensity）定义为 将观察点P称为场点，其位置用坐标(x, y, z)或r来表示，把点电荷所在的点S称为源点，其位置用坐标(x′, y′, z′)或r′来表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r′。直角坐标系中，R=ax(x-x′)+ay(y-y′)+az(z-z′)，其大小为 假设电荷是集中在一个点上，从宏观的角度讲，电荷是连续的分布在一段线上、一个面上或一个体积内的。 线电荷密度（Charge Line Density）：当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小）上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷 面电荷密度（Charge Areal Density）： 当电荷分布在一个表面上时， 定义面电荷密度为单位面积上的电荷 体电荷密度（Charge Volume Density）：如果电荷分布在一个体积空间内， 定义体电荷密度为单位体积内的电荷 分布电荷所产生的电场强度 设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体积元dV′如上图所示，其电荷量dq=ρV(r)dV′，其视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为 用类似的方法可求得电荷分布为ρS(r′)和ρl(r′)时电场强度的表达式分别为 例 有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷, 如下图所示，求线外一点的电场强度。 在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为 这就是点电荷产生的电位。上式中隐含无穷远处电位为零。 则有： 如果电荷以体密度ρV(r′)分布于体积V内，将积分（对带撇的变量积分）与微分（对不带撇的变量微分）符号互换， 得 例 真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计算球内外的电位与电场强度。 电偶极子是指相距很近的两个等值异号的电荷。 设每个电荷的电量为q，它们相距为d，如下图所示。选用球坐标来求电偶极子在点P的电位及电场。 根据点电荷电位的表达式，电偶极子在P点的电位为 当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小, r1, r2, r三者近乎平行，因此r1-r2≈d cosθ， r1r2≈r2，将其代入上式得电偶极子的电位表达式为 取负梯度得电偶极子在P点处的电场强度为 3.2 静电场的基本方程 把一个试验电荷qt放入电场中， 让它自由移动， 作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，称这个路线为力线（Line of Force）或通量线(Flux Line)。 若把电荷放在不同的位置， 就能描绘出任意多条力线。为了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小，于是说场线(Field Line)表示电通量(Electric Flux)。虽然电通线实际上不存在，但它们可以直观、形象地描绘电场的分布，如下图所示。 早期研究发现，电通量有如下特性 (1) 与媒质无关 (2)大小仅与发出电通量的电荷有关 (3)如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面 (4)单位面积上的电通量，即电通密度，反比于R2 而电场强度除了大小与媒质的介电常数有关外，也满足这些约束，故可以用电场强度定义电通密度D为 D=ε0 E 点电荷q在半径R处的电通密度