Jordan标准形.pptVIP

整理后得到三个线性方程组 ① ② ③ 由 可得 齐次线性方程组 与 ① ② 是相同的，可得一个 基础解系： ③ 由于 的任意线性组合都是齐次方程组①与②的解， 非齐次线性方程组③有解， 即方程组 的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。 ③ 下面求 ： 容易看出方程组 的系数矩阵I+A的秩为1,故应使 ③ ③的增广矩阵 的秩也为1。 由 再由方程组③解出 ，于是 例 求解线性常系数齐次微分方程组 ① ▌ 则方程组①可表示成 由上例可知 ② 解 令 ② ③ 即 ⑥ ④ ⑤ 方程④与方程⑥的解显然是 这时方程⑤可表示成 其解为 ▌ * * 一、Jordan标准形 定义 称m阶上三角矩阵 为一个m阶Jordan块， 为一个Jordan形矩阵，其中J1,J2,…,Js均为Jordan块。 例如 分别是1阶、2阶、3阶Jordan块， 称准对角矩阵 是6阶Jordan形矩阵。 定理 设 ，则 A相似于一个Jordan形矩阵 并且除了Jordan块 J1,J2,…,Js的排列次序外，J由A唯 一确定。称 J为 A的 Jordan标准形。 对角矩阵是特殊的Jordan矩阵。 二、初等因子 设A是n阶方阵，令 A(?) =?I – A，则称下列行 （列）变换为A的特征矩阵 A(?)的 初等行（列）变换： 定义 设A是n阶复方阵，用初等变换将 A(?) =?I – A 化为对角矩阵(其主对角元的最高次项系数均为1)。 然后把主对角元分解成互不相同?的一次因式方幂的 乘积，则其中所有指数大于零的一次因式的幂称为A 的初等因子。 例 已知 求A的初等因子。 解 ▌ 故A的初等因子为 例 求三阶Jordan块 的初等因子。 解 因 ▌ 初等因子为 。 例 m 阶Jordan块 例 求矩阵 的初等因子。 解 故A的初等因子为 。 ▌ 的初等因子为 。 特别地，对角矩阵 三、求方阵的Jordan标准形 定理 设A、B是同阶方阵，则A相似于B的充分必要条件是A与B的初等因子相同。 定理 设A是准对角矩阵， 则A1, A2,…,As的初等因子的全体既是A的初等因子。 定理 设n阶方阵A的初等因子为 则A的Jordan标准形为 其中 例 求方阵 的Jordan标准形。 令 则A的Jordan标准形为 前面已求出A的初等因子为 ▌ 解 例 求方阵 的Jordan标准形。 解 令 则A的Jordan标准形为 ▌ 四、求相似变换矩阵 相似变换矩阵。 例 求方阵 的Jordan标准形，并求相似变换矩阵P。 解 （1） 令 （2）再求相似变换矩阵：