重积分的计算方法及变量变换的技巧.docxVIP

【标题】重积分的计算方法及变量变换的技巧 【作者】田 茂 丹 【关键词】重积分计算方法有关问题变换技巧 【指导老师】陈 强 【专业】数学与应用数学 【正文】1 引言在前人的不断努力下，有关重积分的计算方法的知识已经比较完善了．本选题的目的是研究一下重积分的计算方法及变量变换技巧，让学习它的人更好的掌握计算它的方法及计算时怎样作变量代换能更好的计算重积分．重积分在数学分析中占有比较重要的地位，是数学分析中重要的一个部分，也是数学分析学习的难点之一，由于重积分的题型十分多，因而方法灵活，技巧性强且解题对于学习者来说是十分困难的．由于重积分的解法可分为多种情况．比如：利用对称性计算重积分，利用重积分的几何意义计算重积分，利用换元法计算重积分，利用变量代换法计算重积分，利用分部积分法计算重积分，利用换元法计算重积分，等等．因此本选题的意义就在于让学习重积分的人更好的掌握它的计算方法．在我所找的文献中，有关于重积分的基本定义以及计算重积分的方法、技巧的内容．所有的这些材料从不同的角度来说明了重积分是怎样计算的，并对重积分的计算技巧有很好的总结．但是这些还远远不够，理论的东西和实际应用还存在着很大的差距．理论研究后，在应用于生产实际中时，还会出现许多新的问题，这时考虑的问题就和理论时不一样了．仅仅研究理论时，对待某些问题，我们还需要更加深入的去了解．因此，重积分计算时变量变换的技巧还有待我们更深入的去研究．2 预备知识定义　设?是定义在可求面积的有界闭区域?上的函数．?是一个确定的数，若对任给的正数?，总存在某个正数?，使对于?的任何分割?，当它的细度?时，属于?的所有积分和都有?，则称?在?上可积，数?称为函数?在?上的二重积分，记作?，其中?称为二重积分的被积函数，?称为积分变量，?称为积分区域．定理1设D为有界平面区域，二元函数?在D上有连续的偏导数，(1)若区域D关于?轴对称，其中?为?中位于?轴上边的区域，?(2)若区域D为关于?轴对称，其中?为?中位于?轴右边的区域，?(3)若区域?为关于原点对称，其中?为?中关于原点对称的右侧区域，?．定理2二重积分的变量代换公式为:设?在平面的有界闭区域?上连续:且(1)连续可微函数?，?把?双方单值地变到区域?；(2)雅可比行列式?在?上成立，则?．定理3设?的联合密度?在区域?上不为０，?是从?到?的1一1变换，且有反函数?对?的雅可比行列式是?，则?在?上密度函数为　．其中?表示行列式的绝对值;分别表示向量?及?；在?之外，?的密度为０．用这个定理，只需计算雅可比?就行了．3?重积分的计算方法?3．1　利用对称性计算在定积分计算中，可以根据被积函数和积分区间的特点用对称性定理计算，二重积分是积分学中的重要内容之一，本文将定积分计算中的对称性定理进行推广，并归纳出利用平面区域对称性计算二重积分，引导学生积极思考，激发学生的学习兴趣，同时利用这些知识可简化二重积分的计算，化繁为简，收到事半功倍的效果．例1计算二重积分?，其中?由?所围成．解：显然区域?关于?轴对称，?是关于?的奇函数，?关于?的偶函数，由定理1得．例2计算二重积分?，其中?是由?围成．解：区域?是有界且关于原点对称，且?是关于?的奇函数，由定理1得　　　　　　　　?．由以上例题可知，根据积分区域的对称性来解题，有时可以大大的简化重积分的计算．3．2利用重积分的几何意义计算在应用几何意义解重积分的问题时，由被积函数决定．如果被积函数是表示曲线，主要的是算不规则图形的面积．如果被积函数是表示曲面，那么积分就是表示曲面体的体积．例3计算?，其中 1．解：?　?被积函数?， ?表示的?为底的?为顶的曲顶柱体体积．又平行于?面的截面面积为?因而，根据平行截面面积为已知的立体体积公式有?．此法有时可简化重积分的计算．3．3　利用分部积分法计算我们知道,计算二重积分的主要方法是把二重积分化为累次积分．而且,在把二重积分化为累次积分时,需要根据积分区域?和被积函数的特点,选择适当的次序进行积分．对于先对?后对?的累次积分?或先对?,后对?的累次积分?,若函数?的原函数不能用初等函数表示出来,在现行数学分析教材中求此类累次积分时,都是交换累次积分的次序后进行计算的．例如,累次积分?的求值,由于?的原函数不能用初等函数来表示,所以,它的积分难以进一步求出．事实并非如此,本文拟探讨不交换其次序的积分方法,先计算上面提及的累次积分．例４计算?．解:?因为?是关于x的函数,所以,用分部积分法,得:?=?=?=?=?．可见,用分部积分法计算这个累次积分避免了因交换次序所必须的画图,确定上下限的麻烦．3．4利用换元法计算换元法是计算定积分的重要方法，它也是计算重积分的重要方法．由于二重积分的积分区域是平面上的区域，它比定积分的积分区间复杂的多，因此重