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有解、恒成立问题总结

一、规律总结：对一切恒成立,那么;对一切恒成立,那么；注意参数的端点值能否取到需检验。

1、假设对任意,不等式恒成立，那么实数的取值范围是〔〕

(A)(B)(C)〔D〕

2、设函数。

(1)如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

(2)假设时，恒成立，求的取值范围。

二、规律总结：假设方程在某个区间上有解只需求出在区间上的值域A使。

利用函数处理方程解的问题，方法如下：

〔1〕方程在区间上有解

与的图象在区间上有交点

〔2〕方程在区间上有几个解与的图象在区间上有几个交点

3、函数的图像与函数的图象相切，记

〔1〕求实数b的值及函数F〔x〕的极值；

〔2〕假设关于x的方程F〔x〕=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.

4、〔2007广东卷理20〕是实数，函数如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围。

三、规律总结：在区间内有解,那么;在区间内有解,那么；注意参数的端点值能否取到需检验。

5、不等式有解，那么的取值范围是

6、函数。当a＝1时，使不等式，

求实数m的取值范围；

四、规律总结：：一般地：分别定义在区间和上的函数，

假设，，使成立

7、两函数，，对任意，存在，使得，那么实数m的取值范围为

8、函数，，其中，．

对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

练习：

1．函数f(x)＝xlnx.

(1)假设函数g(x)＝f(x)＋x2＋ax＋2有零点，求实数a的最大值；

(2)假设?x>0，eq\f(f?x?,x)≤x－kx2－1恒成立，求实数k的取值范围．

2．设函数f(x)＝clnx＋eq\f(1,2)x2＋bx(b，c∈R，c≠0)，且x＝1为f(x)的极值点．

(1)假设x＝1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；

(2)假设f(x)＝0恰有两解，求实数c的取值范围．

O有解、恒成立问题总结

O

1、解析：对,不等式恒成立

那么由一次函数性质及图像知，即。答案：选B

2、解：(1)设切线斜率为，那么当时，取最小值-4，

又，所以，所求切线方程为，即

(2)由，解得：或。

函数在和上是增函数，在上是减函数。

所以或或解得

3、解：〔1〕依题意，令，得

列表如下：

－1

+

0

－

0

+

增

极大值

减

极小值0

增

从上表可知处取得极小值

〔2〕由〔1〕可知函数作函数的图象，当的图象与函数的图象有三个交点时，关于x的方程

4、解法1：时，，故

在区间上有解在区间上有解在区间上有解

问题转化为求函数在区间上的值域。

法一：设，令

随变化的情况如下表：

—

0

+

1

的值域为

其图象如下图：

由此可知可知：，即或

法二：

令那么

利用对勾函数性质可得即，故或.

解法2：在区间上有解在区间上有解

与且的图象有交点

由

+

+

0

—

—

5

1-1

1

-1

5

1

1

、随变化的情况如下表：

函数的草图如下：

由图可知：或.

5、解：原不等式有解有解，

而，所以。

6、

7、解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴

8、【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．

简解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,

故(1)对称轴x=a<1，即或0<a<1时，m(a)=fmin(x)=f(1)=2-2a，由m(a)>n(a)解得a<4/5,〔注意到a的范围〕从而得a的范围：0<a<4/5;

(2)对称轴x=a>2时，m(a)=fmin(x)=f(2)=5-4a，由m(a)>n(a)解得a<10/9,〔注意到a的范围〕从而得a无解：;

(3)对称轴x=a∈[1,2]时，m(a)=fmin(x)=f(a)=2-2a，由m(a)>n(a)解得或，〔注意到a的范围〕从而得a的范围：;;

综合〔1〕〔2〕〔3〕知实数的取值范围是：(0，4/5)∪[1,2]

练习：

1．解：(1)由题知，g(x)＝xlnx＋x2＋ax＋2＝0在(0，＋∞)上有实根，

即：－a＝lnx＋x＋eq\f(2,x)在(0，＋∞)上有实根，

令φ(x)＝lnx＋x＋eq\f(1,x)，那么φ′(x)＝eq\f(1,x)＋1－eq\f(2,x2)＝eq\f(x2＋x－2,x2)＝eq\f(1,x2)(x＋2)(x－1)，

易知，φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以，－a≥φ(x)max＝φ(1)＝3，a≤－3.

(2)依题意eq\f(f?x?,x)≤x－kx2－1，kx2≤x－1－lnx，x>0.所以k≤eq\f(1,x2)(x－1－ln