1991考研数三真题及解析(1).docVIP

0.4 0.4 0.2 ,所以在的连续点,,只有在的间断点处取值的概率才大于零,且 ,那么 , 因此的概率分布为 0.4 0.4 0.2 二、选择题(此题总分值15分,每题3分.) (1)【答案】(A) 【解析】由重要极限可知, 极限 , . 而极限 , ,那么 , 所以 . 应选项(A)正确. (2)【答案】(D) 【解析】因为,由收敛及比较判别法可知绝对收敛.即(D)正确. 另外,设,那么可知 (A) , (C) 都不正确. 设,那么可知(B)不正确. (3)【答案】(B). 【解析】由为的特征值可知,存在非零向量,使得. 两端同时乘以,有 ,由公式得到.于是 . 按特征值定义知是伴随矩阵的特征值.故应选(B). 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,假设存在数及非零的维列向量使得成立,那么称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量. (4)【答案】(D) 【解析】,如果,那么,即与互不相容；如果 ,那么,即与相容.由于、的任意性,应选项(A)(B)均不正确. 任何事件一定可以表示为两个互不相容事件与的和. 又因,从而,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把、互不相容等同于、相互独立而错选(C). ,不相容,,均不为零,因此 , 即(C)不正确. 用排除法应选(D). 事实上, (5)【答案】(B) 【解析】由于,因此有 故应选(B). 【相关知识点】假设两个随机变量的方差都大于零,那么下面四个命题是等价的： ； ； ； 和不相关,即和的相关系数. 三、(此题总分值5分) 【解析】：这是 型未定式极限. , 其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法那么,有 . 所以 . ：由于 , 记,那么当时,从而 . 而,所以. 又因 . 所以 . 四、(此题总分值5分) 【解析】积分区域如图阴影局部所示. 由,得. 因此 . . 五、(此题总分值5分) 【解析】将原方程化为,由此可见原方程是齐次微分方程. , 化简得,即.积分得 将代入上式,得通解. 由条件,即求得. 所以所求微分方程的特解. 六、(此题总分值6分) 【解析】先求出曲线和的交点,然后利用定积分求出平面图形面积和,如图： 由 得 所以 , . 又因为,所以,即,解得 七、(此题总分值8分) 【解析】 , . 由极值的必要条件,得方程组 即. 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为 , , . 由极值的必要条件,得方程组 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当,即 时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为. 八、(此题总分值6分) 【解析】因为,所以. ,两边对求导,得 . ,只需在上成立,,即. ：利用单调性. 由于 , 且,故, 又,于是有.从而 ,, ：利用拉格朗日中值定理. 所以在区间存在一点,使得 , 即.又因为,所以,所以 . 九、(此题总分值7分) 【解析】设将分量代入得到方程组 对方程组的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有、加到第二行和第三行上,有 , 再第二行加到第三行上,所以有 . 假设且即且,那么,方程组有唯一解,即可由线性表示且表达式唯一. 假设,那么,方程组有无穷多解,可由线性表示,且表达式不唯一. 假设,那么,方程组无解,从而不能由线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组). 设是矩阵,线性方程组,那么 (1) 有唯一解 (2) 有无穷多解 (3) 无解 不能由的列向量线表出. 十、(此题总分值6分) ,用“顺序主子式全大于0 二次型的矩阵为,其顺序主子式为 正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有 . 解出其交集为,故时,为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有个变量的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式) 其中, 称为元二次型,,,那么二次型可用矩阵乘法表示为 其中是对称矩阵,称为二次型的矩阵. 十一、(此题总分值6分) 【解析】记,那么线性无关的充分必