1990考研数二真题及解析.docVIP

所以此题应该选(B). (3)【答案】A 【解析】此题考查高阶导数的求法. 为方便记.由,逐次求导得 , 由第一归纳法,可归纳证明. 假设成立,即,那么 , 所以亦成立,原假设成立. (4)【答案】A 【解析】对两边求导数得 故此题选A. 【相关知识点】1. 假设,,均一阶可导,那么 . 2.： 在点可导,且其导数为或. (5)【答案】B 【解析】由于 , , 得 ,,故为第一类(可去)间断点,故此题选B. 【相关知识点】1. 连续：, 2.的间断点或者不连续点的定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点. (1) 在没有定义； (2) 虽在有定义,但不存在； (3) 虽在有定义,且存在,但 ,但左极限及右极限都存在,,称为第二类间断点. 三、(每题5分,总分值25分.) (1)【解析】此题考查重要极限： , 得. 或由 , 同理可得. (2)【解析】方程两边求微分,得 , 整理得 . (3)【解析】对分式求导数,有公式,所以 , ,,即是时,时, 故拐点为. 【相关知识点】1.拐点的定义,,那么称为曲线的拐点. 2.拐点判别定理： (1),在去心邻域,就是区间 内不包括点二阶可导,且在上,那么 为拐点. (2),又那么 为拐点. 此题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)【解析】由有 , 为任意常数. 注：,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：,那么 或者 (5)【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 . 由于 ,两边乘以得. 积分得 , 通解为 . 代入初始条件可得,所求特解为. 四、(此题总分值9分) 【解析】对椭圆方程进行微分,有. 过曲线上点的切线方程为,当存在时,. 所以点处的切线方程为,化简得到. ,得切线在上的截距分别为； 又由椭圆的面积计算公式,其中为半长轴和半短轴,故所求面积为 . 为常数,欲使得的最小,那么应使得最大；从而问题化为求(由椭圆方程所确定)当时的最大值点. ,得,再对两边求导得,联合可得(唯一驻点),即在此点取得最大,取得最小值. 由于,所以在上存在最小值,必为最小点,所求点为. 五、(此题总分值9分) ,,另一边剩下0,再在给定区间内讨论的单调性即可证明原不等式. ,那么.因此,在 上单调减；又有,所以 , 故时,,所以原不等式得证. 六、(此题总分值9分) 【解析】,由换元积分,,； 所以 . 由区间相同的积分式的可加性,有 =. ,那么 由牛顿-莱布尼兹公式,有 , 而,故. 【相关知识点】,,那么有 1O 1 O 1 2 3 【解析】先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得 ,过曲线上点的切线方程 为,当存在时,. 所以点处的切线方程为 , 此切线过点,所以把点代入切线方程得,再代入抛物线方程得 ,由此,与抛物线相切于斜率为的切线方程为 . 旋转体是由曲线直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的,求旋转体体积： ,是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得 . ,并作水平分割,相应于小横条的体积微元,如上图所示, 于是,旋转体体积 . 【相关知识点】1.由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为：. 2.设在连续,非负,,那么曲线,直线及轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体体积为：(可用微元法导出). 八、(此题总分值9分) 【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程的根为,原方程右端中的. 当时,可设非齐次方程的特解,代入方程可得, 当时,可设非齐次方程的特解,代入方程可得, 所以通解为 , . 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程 的一个特解.是与之对应的齐次方程 的通解,那么是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根,那么通解为 (2) 两个相等的实数根,那么通解为 (3) 一对共轭复根,那么通解为其中为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下： 如果那么二阶常系数线性非齐次方程具有形如 的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.