03 正规子群与商群.ppt

* * 数学思想与方法 数学模型方法 对于现实世界的某一特定对象，为了某一特定的目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能够解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制等。 * * 数学建模的过程 * * 数学建模的一般步骤 1 问题提出。 2 问题分析。 3 模型假设。 4 模型建立。 5 模型求解。 6 模型检验。 * * * * 谢 谢 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 陪集与译码方法 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第4节 群的直积 低阶群的构造 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第5节 群与纠错编码 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 线性码的生成矩阵与校验矩阵 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 商群 * * 商群 * * * * * * 单群 * * 第3节 群同态基本定理 * * 定义 若存在群 到群 的同态满射 ，则称群 与群 同态； 若存在群 到群 的同构映射 ，则称群 与群 同构. 假定 是集合 到 的一个满射， ，称 为 在 之下的象； ，称 为 在 之下的逆象. 为 * * 定理 两个代数系统 同态， 与 若 是群， 则 也是群. 证明： ， 是群，有结合律，则 也有结合律； 是同态满射，有 是 的左单位元； 是 的左逆元 也是群. * * 例 证明 关于 做成群. 证明：取 是 到 的同态满射， 而 是群， 因此 是群. * * 例 是 到 的同态满射， {全体正负奇数}， 代数运算均为数的普通乘法 正奇数 1 负奇数 -1 是群， 而 不是群. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 定理 （群同态基本定理） 群 与 同态， 是 到 满射，则 的同态 证明：取 * * 说明： 定理说明任何群都同它的商群同态； 同另一个群 同态， 在同构意义下是 的一个商群. 定理说明一个群 则这个群 因此，在同构意义下，上述定理的意 思是：每个群能而且只能同它的商群同态. * * 定理 若 是群 到群 的同态映射 是单射 ，则 证明： 而 是单射 若 ，则 是单射. * * * * * * * * * * 陪集 * * Lagrange定理证明 证明 因为 , 所以 也是有限群， ，且 由前定理, 且 所以, 在 中左陪集的个数也有限. 设 从而 * * * * Lagrange定理推论 * * * * * * * * * * 乘积集的例 * * 第2节 正规子群 商群 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 要判断一个子群是不是不变子群，一般来说，使用上述定理中所描述的判断方法比较方便． * * * * * * * * * * 正规子群 * * * * * * 近世代数及其应用 罗守山 教授 博士生导师 北京邮电大学计算机学院 * * 第3章 正规子群与商群 本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。 * * 第1节 陪集 拉格朗日（Lagrange）定理 先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。 进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群的阶都是有限母群阶的因子。 * * 集合的积 设 为群, 是群 子集, 定义 若 ，则 的两个非空 * * 陪集的引入 引例 对于整数加群 ，模4的剩余类： 构成 的一个分类： 现利用群的观点，分析此分类的特点： ①分类中存在一个特殊的类[0]是子群, 而其余的类都不是子群. ②每个类正好是这个子群“乘”上这个类中 任取定的一个元素.[i]=i+[0]. * * * * * * * * 陪集 陪集思想： 利用子群的一种等价关系,对群进行分类。 * * * * * * 陪集 * * * * * * 陪集例 * * * * * * * * * * * * 例 ① ② 在 中的全部不同的左陪集有: * * 例 ③ 在 中的全部不同的右陪集有: ④ ⑤ * * 陪集的性质及陪集分解 左陪集的性质及左陪集分解 2） 3） 4） 1） 群 中每个元素属于