备考常用微专题 例谈高等背景下的解析几何与运算.pdfVIP

高考数学

解析几何与等角定理

本节介绍2018年全国1卷19题及推广，我们现在题目的基础上给出一般的等角定理内容，

然后再借助极点极线背景推广等角定理到斜率成等差定理，后者可以解决2022年乙卷解析

几何，紧接着，再利用角平分线性质给出等角定理的变式题目，最终完成整个高考题目的

历史演变.

一．真题解析

例1.（2018年全国1卷理科）．设椭圆的右焦点为，过的直线与交

于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

解析：（1）略.

（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平

分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为

，，则，直线，的斜率

之和为：

进一步，由得.

将代入得.所以，

则.从而，故

,的倾斜角互补，所以.综上，.

例2（2018年全国1卷文科）设抛物线，点，，过点的

直线与交于，两点．

高考数学

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：．

解析：（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或．

所以直线的方程为或；

（2）设的方程为，、，由，得，

可知，．直线、的斜率之和为

，所以，可知、的倾

斜角互补，所以.综上，.

二．题目推广

将上面两道题目的结论推广到一般情形，其实就给出了圆锥曲线中的等角定理.

椭圆：已知椭圆，点，设不与轴垂直的直

线与椭圆相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平

分线.

双曲线：已知双曲线，点，设不与轴垂直

的直线与双曲线相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是

的角平分线.

抛物线：已知抛物线，点，设不与轴垂直的直线与抛

物线相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线.

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例．已知椭圆的离心率为，过定点的直线与椭圆有两

个交点，