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高考数学

解析几何中的面积转化策略研究

一．常见的面积转化策略.

三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：

①两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比

②两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）

③利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比

④面积的割补和转化

二．典例分析

例1．（2024年新高考2卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.

（1）若，求；

（2）证明：数列是公比为的等比数列；

（3）设为的面积，证明：对任意的正整数，.

解析：（1）

由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.故，从而，.

方法1.逐步翻译，暴力运算

（2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.

从而根据韦达定理，另一根，相应的.所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以.

这就得到，.

所以

.

再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.

（3）由于上一小问已经得到，，

故.

再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.

所以对任意的正整数，都有

.这就得到，

以及.两式相减，即得.

移项得到.

故.而，.所以和平行，这就得到，即.

方法2.合理转化，多想少算

（2）由于关于轴的对称点是，而，而共线且，则.都在双曲线上，则有

，作差可得

而①，②，两式做差可得：

，

故，即数列是公比为

的等比数列.凌晨讲数学

（3）要证，注意到两个三角形的关系，只需证明点到直线的距离相等即可，即证明，即证.记，则.

故，而

则

.

于是可得得证！

例2．（2024年九省联考）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．

（1）证明：直线过定点；

（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．

解析：（1）由，故，由直线与直线垂直，故两只直线斜率都存在且不为，设直线、分别为、，有，

、、、，联立与直线，即有，

消去可得，，故、，

则，故，，

即，同理可得，当时，

则，

即

，由，即，故时，有，此时过定点，且该定点为，当时，即时，由，即时，

有，亦过定点，故直线过定点，且该定点为；

方法1.逐步翻译，暴力运算

（2）由、、、，则，由、，故凌晨讲数学

，

同理可得，联立两直线，即，

有，即，有，由，同理，故，

故，过点作轴，交直线于点，则，

由、，故，

当且仅当时，等号成立，下证：由抛物线的对称性，不妨设，则，当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，

由直线过定点，此时，同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，有，故此时，当且仅当时，，

故恒成立，且时，等号成立，故，

方法2.面积转化，多想少算

（2）设为的中点,为直线与的交点.由分别为的中点知,所以,故.设为直线与的交点,同理可得.所以，由（1）中的法2可得，同理可得．所以，当且仅当时等号成立．因此的面积的最小值为8．

三．习题演练

1.已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围.

解析：（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为

（2）设，因为为的重心，所以；因为，且；所以；

设，与联立得：，所以，

所以，则；所以的取值范围为

2已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，．

（1）求的方程；

（2）若点的横坐标为2，求；

（3）设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．

解析：（1）由题意，直线的斜率必存在.设直线的方程为，

联立得，所以

当时，，此时，

所以，即.所以的方程为.

（2）由(1)知，，则，代入直线得，则中点.因为，所以，则直线方程为，即，同理，直线方程为，所以，

，所以.因为，即，此时，所以直凌晨讲数学线的方程为，代入，得，所以，所以.

（3）由（2）知，所以直线方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为在处的切线斜率，所以在处的切线平行于，又因为为的中点，所以.由(1)中式得，所以，因为直线方程为，所以.又到直线的距离，所以，

(当且仅当时取“”)所以，所以四边形的面积的最小值为3.凌晨讲数学

3．已知椭圆C：，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．当轴时，，椭圆C的离心