西藏自治区小学五年级下学期数学第八单元测试卷-数学广角单元检测.docVIP

西藏自治区小学五年级下学期数学第八单元测试卷-数学广角单元检测

一、知识点梳理

（一）找次品的基本方法

找次品是通过天平称重，利用次品与正品在质量上的差异（通常假设次品较轻或较重），通过合理分组和推理找出次品的过程。其核心策略是将待测物品分成3份，尽量平均分；如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1。例如：

9个物品可平均分成3份（3，3，3）；

10个物品可分成3份（3，3，4），确保每份数量接近。

（二）天平称重的推理逻辑

平衡状态：若天平两端物品质量相等，次品在未称重的那份中；

不平衡状态：若次品较轻，次品在天平翘起的一端；若次品较重，次品在天平下沉的一端。

通过多次称重，逐步缩小次品所在范围，直至找出次品。

（三）物品数量与称重次数的关系

当物品数量在(3^n)（(n)为正整数）以内时，至少需要(n)次称重可保证找出次品：

(1)～(3)个物品（(3^1)），需称(1)次；

(4)～(9)个物品（(3^2)），需称(2)次；

(10)～(27)个物品（(3^3)），需称(3)次；

(28)～(81)个物品（(3^4)），需称(4)次。

二、易错点解析

（一）分组不合理，未遵循“三分法”

错误示例：将8个零件分成2份（4，4），第一次称重后次品范围仍为4个，未有效缩小。

正确分组：分成3份（3，3，2）。若天平平衡，次品在2个中，再称1次即可；若不平衡，次品在翘起的3个中，再称1次可找出。

（二）天平推理错误，混淆次品轻重方向

错误示例：已知次品较轻，当天平两端各放6个物品时，错误认为次品在下沉的一端。

正确推理：次品较轻时，天平翘起的一端才是次品所在位置。

（三）对数量与次数关系理解偏差

错误示例：认为10个物品比9个物品需要更多称重次数。

正确分析：9个物品（(3^2)）需称2次，10个物品分成（3，3，4），通过3次称重即可找出次品，二者均符合“(3^n)以内”的规律。

三、典型例题与变式训练

（一）基础应用题：分组策略与称重次数计算

例题1：有11瓶口香糖，其中1瓶是次品（次品较轻），至少称几次能保证找出次品？

解答步骤：

分组：将11瓶分成3份（4，4，3）；

第一次称重：天平两端各放4瓶。

若平衡，次品在3瓶中；第二次称2瓶，平衡则剩余1瓶为次品，不平衡则翘起端为次品（共2次）。

若不平衡，次品在翘起的4瓶中；第二次将4瓶分成（1，1，2），称2个1瓶，平衡则次品在2瓶中，第三次称重找出（共3次）。

结论：至少称3次。

变式训练1：有13个零件（次品较重），至少称几次能保证找出次品？

提示：分成（4，4，5），利用次品较重的条件推理。

答案：3次。

（二）进阶应用题：结合实际场景的推理

例题2：有27个乒乓球（次品较轻），至少称几次能保证找出次品？

解答步骤：

分组：平均分成3份（9，9，9）；

第一次称重：天平两端各放9瓶，次品在翘起的9瓶中；

第二次称重：将9瓶分成（3，3，3），次品在翘起的3瓶中；

第三次称重：将3瓶分成（1，1，1），翘起端为次品。

结论：至少称3次（符合(3^3=27)的规律）。

变式训练2：有25个羽毛球（次品较轻），至少称几次能保证找出次品？

提示：分成（8，8，9），分情况讨论平衡与不平衡的推理过程。

答案：3次。

（三）思维拓展题：逆向推导物品数量范围

例题3：现有一批糖果，已知至少称3次能保证找出次品，这批糖果最多有多少瓶？

解答逻辑：

称3次对应的最大数量为(3^3=27)瓶（10～27瓶需称3次）。

结论：最多27瓶。

变式训练3：若至少称4次能保证找出次品，物品数量最多是多少？

答案：81瓶（(3^4=81)）。

（四）实际操作题：天平状态与次品位置判断

例题4：有9个零件，第一次称重时天平两端各放3个，天平平衡，次品在哪里？

解答：天平平衡说明次品在未称重的3个中，需进一步称重这3个。

变式训练4：有15盒饼干（次品较轻），第一次称重天平两端各放5盒，若天平不平衡，次品在哪部分？

答案：翘起的5盒中。

四、综合检测题

一、填空题

有7盒曲别针（1盒次品较轻），至少称（）次可找出次品。

找次品的最优策略是将物品分成（）份，尽量（）分，不能平均分则使多与少的份数相差（）。

28个物品中找次品（较轻），至少称（）次。

二、解答题

有10瓶水，其中1瓶是盐水（较重），用天平称，至少称几次能保证找出盐水？

质检人员从27盒巧克力中找出1盒次品（较轻），请写出称重步骤。

一批零件共20个（次品较轻），能否用3次称重保证找出次品？说明理由。

参考答案

一、填空题

22.3；平均分；13.4

二、解答题

3次（分组：3，3，4）；

3次（分3份（9，9，9），逐步缩小范围）；

能（20在10～27范围内，符合3次