高等数学三重积分 (2).pptVIP

目录上页下页返回结束第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用?引例:设在空间有限闭区域?内分布着某种不均匀的物质,求分布在?内的物质的可得“分割作近似，求和取极限！”解决方法:质量M.密度函数为第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日定义.设存在,称为体积元素,若对?作任意分割:任意取点则称此极限为函数在?上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域?上连续,则存在使得V为?的体积,积和式”极限记作第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)然后，结合二重积分的方法即可转化为三次积分。先假设连续函数最后,推广到一般可积函数的定积分计算.这里只叙述三重积分转化为三次积分的方法:第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日方法1.投影法(“先一后二”)则有：记作第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日方法2.截面法(“先二后一”)则有：记作第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日投影法三次积分的转化方法：设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日其中?为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日例2.计算三重积分解:用“先二后一”第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日小结:直角坐标下三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”注：“三次积分”的计算：第11页，共22页，星期日，2025年，2月5日2.利用柱面坐标计算三重积分就称为点M的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第12页，共22页，星期日，2025年，2月5日如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.第13页，共22页，星期日，2025年，2月5日其中?为例3.计算三重积分所解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.第14页，共22页，星期日，2025年，2月5日例4.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中?由抛物面原式=第15页，共22页，星期日，2025年，2月5日3.利用球面坐标计算三重积分就称为点M的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第16页，共22页，星期日，2025年，2月5日目录上页下页返回结束