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十年高考真题分类汇编数学解三角形

一、正弦定理的应用与拓展

正弦定理，即三角形任意两边与其对角的正弦值之比相等，是解三角形问题的基石。高考对正弦定理的考查，多集中于以下几个层面：

1.1已知两角一边解三角形

此类问题条件明确，通常给出三角形的两个内角和一条边，求解其余的边和角。由于三角形内角和为定值，第三个角可直接求出，进而利用正弦定理“边对角，比相等”的核心思想，即可求得未知边。

典型真题回顾与思路剖析：

（真题示例，此处省略具体年份与题号，下同）

题目特征：在△ABC中，已知角A、角B及边a，求边b、c及角C。

思路：首先，由三角形内角和定理求得角C=π-A-B。然后，依据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，分别代入已知量，即可解出b和c。求解过程中需注意角度的单位（弧度制或角度制），并确保计算准确。

方法小结：此类问题属于基础题型，关键在于准确记忆和应用正弦定理，以及熟练进行三角函数值的计算。

1.2已知两边及其中一边的对角解三角形（“SSA”型）

这是高考的高频考点，也是学生容易出错的地方，核心在于理解“多解、一解或无解”的情况判断。

典型真题回顾与思路剖析：

题目特征：在△ABC中，已知边a、b及角A，求其余元素。

思路：首先，直接应用正弦定理求出sinB=(bsinA)/a。

*若sinB1，则三角形无解；

*若sinB=1，则角B为直角，三角形有唯一解；

*若sinB1，则角B可能为锐角（B?=arcsin(sinB)）或钝角（B?=π-B?）。此时需进一步结合“三角形中大边对大角”的原则以及已知边的大小关系来判断B?是否符合题意，从而确定解的个数（一解或两解）。

方法小结：解决此类问题，务必重视对解的个数的讨论。可结合几何作图或代数计算（比较a与bsinA、a与b的大小关系）进行判断，避免漏解或增解。

二、余弦定理的应用与深化

余弦定理揭示了三角形中三边与其中一角的关系，适用于已知三边或已知两边及其夹角的情况，在求解边长、角度以及判断三角形形状方面有广泛应用。

2.1已知两边及其夹角解三角形（“SAS”型）

此类问题可直接利用余弦定理求出第三边，进而再用余弦定理或正弦定理求出其他角。

典型真题回顾与思路剖析：

题目特征：在△ABC中，已知边a、b及夹角C，求边c及角A、B。

思路：首先，根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，求出边c。然后，可选择余弦定理（cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)）求出角A，再由内角和定理求出角B；或选择正弦定理a/sinA=c/sinC求出角A，但需注意若角A为钝角的可能性，此时用余弦定理判断角度类型更为直接。

方法小结：“SAS”型问题是余弦定理的直接应用，计算量稍大，但思路清晰。求出第三边后，求角时若选用正弦定理，仍需注意角的范围。

2.2已知三边解三角形（“SSS”型）

已知三边，可利用余弦定理求出任意一个角，进而用同样的方法求出第二个角，最后由内角和定理求第三个角。

典型真题回顾与思路剖析：

题目特征：在△ABC中，已知边a、b、c，求各内角。

思路：通常先求最大边所对的角（以判断三角形是否为钝角三角形），利用余弦定理的推论cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。若cosA0，则角A为锐角；若cosA=0，则角A为直角；若cosA0，则角A为钝角。求出一个角后，其余角可类似求出或用正弦定理。

方法小结：“SSS”型问题求解的关键是正确选择公式，并注意计算的准确性。先求最大角可以简化后续判断。

三、三角形面积公式的灵活运用

三角形面积是解三角形问题中的一个重要考点，除了基础的(1/2)*底*高外，高考更常考查与三角函数结合的面积公式：S=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)acsinB。

3.1结合正、余弦定理求面积

此类问题往往需要先利用正、余弦定理求出所需的边或角，再代入面积公式计算。

典型真题回顾与思路剖析：

题目特征：在△ABC中，给出某些边或角的条件（如已知两边一对角，或两角一边等），求三角形的面积。

思路：首先，根据已知条件，选用正弦定理或余弦定理求出计算面积所需的两边及其夹角。例如，已知a、b、A，可先求出角B、C，进而求出边c，再选择合适的面积公式；或已知三边，可先求出一个角的正弦值，再代入面积公式。

方法小结：面积公式的选择需依赖于已知条件，核心是找到“两边及其夹角”。在计算过程中，有时会用到同角三角函数的基本关系（如sin2α+cos2α=1）来求正弦值。

3.2面积公式与其他知识的综合应用

面积公式有时会与三角函数的恒等