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河北省秦皇岛市、承德市部分学校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，则（????）

A．4 B． C．5 D．

2．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

3．已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

4．设，，，则下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．

5．已知一正三棱柱的底面边长为3，其内部有一球与其各面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

6．若，，，则（????）

A． B． C． D．

7．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（???）

A． B． C． D．

8．已知是的三条边且．设函数，则下列结论中错误的是（????）

A．存在正数，使得，，不能作为一个三角形的三条边长

B．存在，，，能作为一个直角三角形的三条边长

C．当是钝角三角形时，函数有零点

D．存在，使得

二、多选题

9．下列说法错误的是（????）

A．若幂函数在上单调递减，则

B．“向量与向量共线”是“存在，使得”的充要条件

C．若，的终边不相同，则

D．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“且”的充要条件

10．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（????）

A．平面截正方体所得的截面可能是五边形

B．一定是锐角三角形

C．当与点重合时，取为正方形内（含边界）一点满足平面平面，则的最小值为

D．的最小值是

11．数列满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列．若的前项和为，则下列结论正确的是（????）

A．

B．存在实数，使得成等比数列

C．

D．

三、填空题

12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是．

13．已知函数，若恒成立，则的最小值是．

14．已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为．

四、解答题

15．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，．

(1)证明：平面；

(2)已知，，，四点均在球的球面上，证明：，，三点共线．

16．已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定．

条件①，函数的图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值；

条件②，函数在区间内无极值点，且，恒成立．

(1)求的值；

(2)若不等式在区间内有解，求实数的取值范围．

17．如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点．

(1)证明：平面．

(2)求平面与平面所成角的正切值．

(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

18．函数．

(1)当时，求在上的最大值；

(2)若在上单调递减，求实数的取值范围；

(3)证明：，．

19．如图，设是由个实数组成的行列的数阵，其中（，，2，，）表示位于第行第列的实数，且．

定义（，，2，，，）为第行与第行的积和．若对于任意，，都有，则称数阵为正交数阵．

例如数阵，

1

1

1

即为正交数阵．

(1)当时，试写出一个符合条件的正交数阵；

(2)是否存在2026行2026列的正交数阵，并说明理由；

(3)设为行列的正交数阵，且对于任意的，，，和，2，，，都有，证明；．

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《河北省秦皇岛市、承德市部分学校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

A

D

A

C

D

D

ABC

AC

题号

11

答案

BC

1．B

【分析】根据共轭复数的定义和模长公式求解.

【详解】由题意，，所以．

所以，

故选：B．

2．A

【分析】分别求解不等式，再根据集合运算求解.

【详解】因为，所以，

因为，即，所以，

所以，所以．

故选：A

3．A

【分析】设向量，根据题意，取得，得到，结合向量的数量积的坐标运算公式和投影向量的计算公式，即可求解.

【详解】设向量，因为，且，可得，

解得，即，则，

又因为，所以在方向上的投影向量为．

故选：A．

4．D

【分析】