第01讲集合与常用逻辑用语（教师卷）-高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版）.docxVIP

第01讲集合与常用逻辑用语

【易错点总结】

集合的概念

1.集合的概念

元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示.

集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示.

集合中元素的特征：

确定性

一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合

互异性

集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素

无序性

集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。

元素与集合的关系

熟记数学中一些常用的数集及其记法

符号

名称

含义

N

非负数集或自然数集

全体非负整数组成的集合

N*或

正整数集

所有正整数组成的集合

Z

整数集

全体整数组成的集合

Q

有理数集

全体有理数组成的集合

R

实数集

全体实数组成的集合

注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。

集合的分类与表示

集合的分类：

（1）按元素的数量分为有限集、无限集、空集；

（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.

表示方法：

（1）自然语言描述法.

（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。

（3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法．

二、集合间的基本关系

子集和真子集

子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.

读作：“A包含于B”(或“B包含A”)

Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

A?B可以用图表示为：

真子集：如果集合A?B,但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集.

空集

空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?.

空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有??A

集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.

子集的个数

若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m1)个，非空真子集有(2m2)个；

三、集合的基本运算

并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B};

Venn图表示:

交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；

交集的Venn图表示：

补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

补集的Venn图表示：

四、充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p?q

pq

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

充要条件

(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

3.从集合角度看充分、必要条件

若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A=B，则p，q互为充要条件

1.全称量词与全称量词命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．

(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范