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平行线的判定证明练习题

在平面几何的学习中，平行线的判定是入门与进阶的关键节点。它不仅要求我们对基本判定公理和定理有深刻的理解，更强调在复杂图形中准确识别角的位置关系、灵活运用性质进行逻辑推理的能力。扎实的判定证明练习，能够有效提升我们的几何直观与逻辑表达素养。本文精选数道具有代表性的平行线判定证明题，并辅以详尽解析，旨在帮助读者巩固基础、突破难点，真正掌握判定证明的“钥匙”。

一、平行线判定方法回顾

在进入习题之前，我们先简要回顾平行线的核心判定依据，这是我们进行证明的“武器库”：

1.同位角相等，两直线平行：若两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，则这两条直线平行。（基本事实，可作为公理直接使用）

2.内错角相等，两直线平行：若两条直线被第三条直线所截，形成的内错角相等，则这两条直线平行。（可由同位角相等推导得出）

3.同旁内角互补，两直线平行：若两条直线被第三条直线所截，形成的同旁内角互补，则这两条直线平行。（可由同位角相等或内错角相等推导得出）

4.平行于同一条直线的两条直线平行：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（传递性）

5.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行：如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。

二、精选练习题及证明思路

（一）基础巩固型

题目1：

如图，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为G、H。已知∠AGE=∠DHF，请证明AB∥CD。

证明：

∵∠AGE=∠DHF（已知）

又∵∠AGE=∠BGF（对顶角相等）

∴∠BGF=∠DHF（等量代换）

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

思路解析：本题直接考察“同位角相等，两直线平行”的公理。但所给的∠AGE与∠DHF并非标准位置的同位角，需要通过对顶角相等进行一次等量代换，将其转化为同位角∠BGF与∠DHF，从而得证。这提醒我们，在复杂图形中，要善于发现角之间的等量关系。

（二）初步综合型

题目2：

如图，已知直线AB、CD被直线MN所截，垂足分别为E、F。且∠1=∠2，请说明AB与CD的位置关系，并证明你的结论。

证明：

∵直线AB、CD被直线MN所截，垂足分别为E、F（已知）

∴∠AEM=∠CFM=90°（垂直的定义）

即∠AEF=∠CFE=90°

∵∠1=∠2（已知）

∴∠AEF-∠1=∠CFE-∠2（等式性质）

即∠BEF=∠DFE

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

思路解析：题目中出现了垂直条件，自然联想到直角。∠1与∠2是在直角基础上截得的角，通过角的减法运算，得到内错角∠BEF与∠DFE相等，从而判定AB∥CD。本题综合了垂直定义、等式性质和内错角判定定理。

（三）角平分线结合型

题目3：

如图，已知∠ABC=∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，且∠1=∠2。求证：AB∥DC，AD∥BC。

证明：

（1）证明AB∥DC：

∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC（已知）

∴∠ABF=∠FBC=1/2∠ABC，∠ADE=∠EDC=1/2∠ADC（角平分线的定义）

∵∠ABC=∠ADC（已知）

∴1/2∠ABC=1/2∠ADC（等式性质）

∴∠ABF=∠EDC（等量代换）

又∵∠1=∠2（已知）

且∠1=∠ABF（对顶角相等，假设BF与DE交于某点，形成对顶角∠1与∠ABF，此处需结合图形理解，若图形中∠1为∠ABF的对顶角则成立）

∴∠ABF=∠2（等量代换）

∴∠2=∠EDC（等量代换）

∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）

（2）证明AD∥BC：

由（1）知∠FBC=∠ADE

∵∠1=∠2，且∠1+∠FBC+∠BCE=180°（平角定义，假设AD与BC被某直线所截形成同旁内角，此处需结合图形，若∠FBC与∠ADE为同位角或内错角则更直接。若∠2与∠ADE是内错角）

∵∠2=∠EDC，∠EDC=∠ADE

∴∠2=∠ADE

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

思路解析：本题涉及角平分线，自然会用到角平分线的定义，将角进行等分。已知∠ABC=∠ADC，通过角平分线转化为更小的角相等。再结合∠1=∠2，通过一系列等量代换，分别找到AB与DC、AD与BC被截线所形成的内错角（或同位角）相等，从而判定平行。这类题目需要清晰的逻辑链条和对图形中角关系的敏锐观察。

（四）平行传递型

题目4：

如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B。求证：DE∥BC。

证明：

∵∠1+∠2=180°