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探索多边形

同学们，欢迎来到数学的探索乐园！今天我们要一起走进奇妙的“多边形”世界。在我们的生活中，多边形无处不在，从我们教室里的课本、黑板，到窗外的建筑、路边的交通标志，都能看到它们的身影。那么，这些由线段围成的封闭图形究竟有什么奥秘等着我们去发现呢？让我们带着好奇心，一起开启今天的探索之旅吧！

一、认识多边形：什么是多边形？

在数学的王国里，我们把由三条或三条以上的线段首尾相连围成的封闭平面图形，叫做多边形。

*关键词解析：

*线段：多边形的边必须是直的，不能是曲线。

*首尾相连：每条线段的端点要和下一条线段的端点连接起来。

*封闭：图形的起点和终点要重合，中间不能有缺口。

*平面图形：多边形是画在一个平面上的，不是立体的。

我们以前学过的三角形，就是最简单的多边形——由三条线段围成。那么，由四条线段围成的呢？对了，是四边形，比如长方形、正方形、平行四边形等等。以此类推，还有五边形、六边形等等。

二、多边形的“边”与“角”

要研究多边形，我们首先要认识它的基本组成部分：边和角（这里主要指内角）。

*边：组成多边形的每条线段叫做多边形的边。一个多边形有几条边，我们就通常称它为几边形。比如，有五条边的多边形就是五边形。

*顶点：相邻两条边的交点叫做多边形的顶点。

*内角：多边形相邻两条边所组成的角叫做多边形的内角。

我们以大家熟悉的四边形为例，它有4条边，4个顶点，4个内角。

三、探索多边形内角和的奥秘

在探索多边形的性质时，内角和是一个非常重要的知识点。我们已经知道，三角形的内角和是180度。那么，四边形、五边形、六边形……它们的内角和又是多少呢？有没有什么规律可循呢？

（一）从四边形开始探索

我们先来研究四边形。我们学过的长方形和正方形，它们的四个角都是直角，所以内角和是90°×4=360°。那么，是不是所有的四边形内角和都是360°呢？

动手操作与思考：

1.请同学们在纸上任意画一个四边形（比如梯形、不规则四边形）。

2.把这个四边形的四个角剪下来。

3.将这四个角的顶点拼在一起，你发现了什么？

通过拼剪，我们会发现，四边形的四个内角可以正好拼成一个周角！一个周角是360°。所以，任意四边形的内角和都是360°。

（二）推导多边形内角和公式

我们能不能找到一个更一般的方法来计算任意多边形的内角和呢？当然可以！这里有一个非常巧妙的方法——分割法，就是把多边形分割成我们熟悉的三角形。

*四边形：我们可以连接四边形的一条对角线，这样就把一个四边形分成了2个三角形。因为每个三角形内角和是180°，所以四边形内角和就是180°×2=360°。这和我们刚才拼剪得到的结论是一致的。

*五边形：同样，我们可以从五边形的一个顶点出发，向和它不相邻的顶点连线，能连出几条对角线呢？能把五边形分成3个三角形。所以五边形内角和就是180°×3=540°。

*六边形：从一个顶点出发，可以引出3条对角线，将六边形分成4个三角形。所以六边形内角和就是180°×4=720°。

观察规律：

我们来整理一下：

*三角形（3边形）：可以分成1个三角形，内角和=180°×1=180°

*四边形（4边形）：可以分成2个三角形，内角和=180°×2=360°

*五边形（5边形）：可以分成3个三角形，内角和=180°×3=540°

*六边形（6边形）：可以分成4个三角形，内角和=180°×4=720°

*...

你发现了吗？一个n边形（n指边数，n≥3），从一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形。

因此，n边形的内角和=(n-2)×180°。这就是多边形内角和的计算公式！

（三）公式的应用

有了这个公式，我们就可以快速计算任意一个多边形的内角和了。

*例如，一个七边形的内角和是多少？

应用公式：(7-2)×180°=5×180°=900°。

四、探索多边形的更多奥秘

除了内角和，多边形还有很多有趣的性质值得我们去探索。比如：

*对角线的条数：n边形一共有多少条对角线呢？（提示：从每个顶点出发的对角线条数是(n-3)，但每条对角线都被重复计算了一次）。

*正多边形：如果一个多边形的各条边都相等，各个角也都相等，这样的多边形就是正多边形，比如正三角形（等边三角形）、正方形（正四边形）、正五边形等等。它们的每个内角都相等，我们可以用内角和公式求出内角和后，再除以边数，就得到每个内角的度数。

这些都可以作为我们课后拓展思考的小课题。

五、学习小贴士：探索多边形的“金钥匙”

1.概念要清晰：