2025年第十七届全国大学生数学竞赛初赛真题(数学A类).pdfVIP

第十七届全国大学生数学竞赛初赛试题

(数学A类,2025)

科目名称：数学竞赛

考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分

题号一二三四五六总分

满分151520151520100

得分

注意：

1.所有答题都须写在指定的答题纸上.

2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

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一、（本题满分15）记三维欧氏空间中不共面的四点生成的四面体为．在四面体

内部取一点，设四面体的体积为，四面体的体积为，四面体

的体积为，四面体的体积为．

（1）求证：；

（2）求证：．

二、(本题满分15分)设⩾S是包含个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件：

若S⩽⩽且，则必有或．

令e．

S

（1）计算dd．

（2）证明：d⩾．

三、(本题满分20分)设为大于2的整数，为任意个有理数，Q为有理

数域上阶方阵全体，证明；

（1）Q中存在个元素使得行列式成立．

（2）Q中存在个元素使得下列两条同时成立：

（i）

（ii）．

四、(本题满分15分)设K为数域，A是维K－向量空间上的线性算子（线性变换），

K分别是A的极小多项式和特征多项式，证明：

（1）存在使，其中是集合

KA

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中首项系数为1，次数最小的多项式；

（2）KAAK是deg维A－不变子空间；

（3）设B是任意线性算子．若，则

ABBA存在K使BA.

五、(本题满分15分)设，sup．证明：存在唯一的二次多项式

，使得，且下列结论之一成立：

（1）；

（2）.