高考数学压轴题 圆锥曲线专题复习：三点共线问题（解析版）.pdfVIP

高考数学压轴题

三点共线问题

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示；

应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜

率等计算量；

拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能

力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以

进行坐标的计算，达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点

放在点的坐标的表示和计算中。

解析几何证明三点共线的方法：

（1）直接证明其中一点在过另两点的直线上；

（2）证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等；

（3）证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.

【考点剖析】

考点一：证明三点共线

例1．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且

.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

【答案】(1)；(2)证明见解析

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解析：(1)根据题意，

解得.

所以椭圆C的方程为：

(2)由（1）知，.

根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.

由，得.

根据题意，恒成立，设

则.

直线的方程为，

令，得，所以.

因为，

则直线的斜率分别为，

.

又，

，

，

.

所以，

所以三点共线.

变式训练1：已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，

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是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共

线.

【答案】(1)；(2)证明见解析

解析：（1）由题意可得，解得，

因此，椭圆的方程为.

（2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、，

，则直线的方程为，

联立，可得，即点，

，，则，

因此，、、三点共线.

变式训练2：已知椭圆的右焦点为，且经过点.

(1)求椭