2025年考研专业课量子力学基础试卷（含答案）.docxVIP

2025年考研专业课量子力学基础试卷（含答案）

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（每小题3分，共15分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置。）

1.一维定域在坐标原点的波函数ψ(x,t)=Aδ(x)*e^(-iEt/?)，其中A为归一化常数。该波函数所描述的粒子（）。

A.只能在原点具有动量

B.动量的概率分布是均匀的

C.能量确定，但动量不确定

D.动量和能量均不确定

2.在量子力学中，一个可观测量A的厄米算符ā满足（）。

A.āψ=aψ，其中a为实数

B.ā2=ā

C.ā的任意两个本征态正交

D.ā的本征值一定是连续的

3.粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为a。若粒子处于基态，则其相邻激发态能量与基态能量之比h2/8ma2是（）。

A.1/4

B.1/2

C.2

D.4

4.对于一维定态问题，若势能V(x)是关于原点奇对称的，即V(-x)=-V(x)，则其能量本征态波函数（）。

A.必然是实函数

B.必然是奇函数

C.必然是偶函数

D.可能是复函数，也可能是实函数，无法确定

5.一个量子态|ψ?可以唯一地表示为|ψ?=C?|φ??+C?|φ??，若|φ??和|φ??满足φ?|φ??=1且φ?|φ??=0，则C?和C?分别是（）。

A.1,0

B.0,1

C.C?2+C?2=1时的任意值

D.C?|φ??和C?|φ??的模平方之和等于1

二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。）

6.波函数ψ(x,t)=ψ?*e^(-i(kx-ωt))描述的自由粒子，其动量算符?的本征值为______。

7.粒子的位置算符?在x轴上的本征值是______，其物理意义是______。

8.一维无限深势阱中，粒子处于n=2的状态，则其德布罗意波长λ=______(用阱宽a表示)。

9.自旋量子数为1/2的粒子，其自旋角动量在空间任意方向上的分量平方?2S2_?的可能取值为______，其中S是自旋角动量算符。

10.根据泡利不相容原理，两个全同的费米子不可能同时处于______的量子态。

三、计算题（每小题10分，共30分。请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。）

11.一维定态粒子在无限深势阱中运动，势阱宽度为a。求粒子处于第一激发态（n=2）时，在x=a/4处发现粒子的概率密度。

12.已知粒子状态为ψ(x)=A*sin(kx)+B*cos(kx)，其中A和B为待定常数，且ψ(x)满足一维无限深势阱边界条件(ψ(0)=0,ψ(a)=0)。求A和B的值，并写出归一化波函数。

13.证明：对于任意两个可观测量的厄米算符ā和ā，若它们具有共同的本征态|ψ?，则有ā|ψ?=a|ψ?和ā|ψ?=a|ψ?，其中a和a分别是ā和ā的本征值。假设ā和ā对易，即[ā,ā]=0。

四、证明题（共15分。请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。）

14.证明：厄米算符的本征值是实数。提示：设ā为厄米算符，|ψ?是ā的本征态，对应的本征值为实数a，即ā|ψ?=a|ψ?。利用厄米算符的性质??=?和内积的性质。

试卷答案

一、选择题

1.C

2.C

3.B

4.C

5.D

二、填空题

6.h?k

7.x；粒子在x位置出现的概率密度

8.a/π

9.?2/2，0

10.完全相同

三、计算题

11.解析思路：首先写出n=2状态的波函数表达式ψ?(x)=sqrt(2/a)*sin(πx/a)，然后计算概率密度|ψ?(x)|2，最后代入x=a/4进行计算。

答案：|ψ?(a/4)|2=|sqrt(2/a)*sin(π*a/4/a)|2=|sqrt(2/a)*sin(π/4)|2=(2/a)*(1/√2)2=1/(2a)

12.解析思路：利用边界条件ψ(0)=0求出B=0。利用ψ(a)=0求出A的值，得到非归一化波函数。然后计算归一化常数