2026高一数学同步5.5.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式（第3课时）（教学设计）数学人教A版2019必修第一册.docxVIP

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好好学习

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

教学内容

本节课是人教A版2019版《数学·必修第一册》第五章“三角函数”中的第5.5.1节“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”的第3课时，核心内容是二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导与应用。学生将在前两课时的基础上，从“和角公式”出发，通过代数变形推导出“倍角公式”，并掌握其在三角恒等变换与求值中的应用。

内容解析

本节内容是三角恒等变换的核心之一，承上启下：

承上：基于两角和的正弦、余弦、正切公式（S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)）进行推导；

启下：为后续学习半角公式、积化和差、解三角形等奠定公式基础。

教学重点在于引导学生从“和角”到“倍角”的逻辑迁移，体会换元思想与公式变形的价值，强化数学运算与逻辑推理核心素养。

教学目标

1.会由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的内在联系,达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次.

2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换和数值计算,并能灵活地将公式变形运用,达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平二的层次.

3.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用,达到逻辑推理核心素养学业质量水平三的层次.

目标解析

1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.

2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值．

3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．

达成上述目标的标志是：

能独立写出二倍角公式（S2α、C2α、T2α）的三种形式；

能在复杂表达式中识别并构造“倍角”结构进行化简；

能通过“换元”将非标准角转化为标准角，解决“给值求值”问题；

能用“联系的观点”解释公式间的逻辑关系（如：C2α与cos2α-sin2α的等价性）。

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式的简单应用.2.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式的简单应用.教学难点：用单角的三角函数表示二倍角的三角函数,倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用.

知识点一二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法

公式

S2α

sin2α＝eq\x(\s\up1(01))2sinαcosα

C2α

cos2α＝eq\x(\s\up1(02))cos2α－sin2α

T2α

tan2α＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(2tanα,1－tan2α)

[点拨](1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．

(2)正切二倍角的范围：α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.

知识点二二倍角公式的变形

(1)

(2)sinαcosα＝eq\x(\s\up1(05))eq\f(1,2)sin2α．

(3)1±sin2α＝eq\x(\s\up1(06))(sinα±cosα)2．

[拓展]用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：

(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).

导入1：生活中的“放大”与“倍角”

教师展示一张手机拍照界面：

“同学们，拍照时我们用手指放大画面，其实是将图像的边长变为原来的2倍。那么，如果角度也被‘放大2倍’，它的正弦值、余弦值会如何变化？是不是也简单乘以2呢？”